2021_2022学年高中数学第三章不等式3.1基本不等式学案含解析北师大版必修5202103151228.doc

《2021_2022学年高中数学第三章不等式3.1基本不等式学案含解析北师大版必修5202103151228.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、高考§3　基本不等式3.1　基本不等式学习目标1.了解基本不等式的证明过程及其几何解释.(数学抽象、逻辑推理)2.了解算术平均数、几何平均数的定义.(数学抽象)3.会用基本不等式判断、比较简单的不等式.(逻辑推理)必备知识·自主学习导思1.重要不等式和基本不等式的形式是怎样的?2.基本不等式的几何意义是什么?重要不等式和基本不等式不等式重要不等式基本不等式条件x,y∈Ra≥0,b≥0结论≥xy≥等号成立的条件当且仅当x=y时当且仅当a=b时【说明】(1)基本不等式(均值不等式)的文字语言:两个正数的算术平

2、均数不小于它们的几何平均数.其中称为a,b的算术平均数,称为a,b的几何平均数,故基本不等式又被称为均值不等式.(2)数列意义:两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项.高考(1)重要不等式与基本不等式有何异同:提示:不同点:适用X围不同;相同点:取等号的条件相同.(2)基本不等式的常见变形:提示:a+b≥2(a≥0,b≥0),ab≤(a,b∈R).1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)不等式x2+y2≥2xy对于任意实数x,y恒成立.(　　)(2)不等式x+y≥2对于任意实数x,y恒成立.(　

3、　)(3)≥ab成立的条件是a>0,b>0.(　　)(4)≥.(　　)提示:(1)√.因为不等式(x-y)2≥0对于任意实数x,y恒成立,所以不等式x2+y2≥2xy对于任意实数x,y恒成立.(2)×.不等式x+y≥2仅对于任意正实数x,y恒成立.(3)×.由-ab=-ab==(a-b)2≥0可知,≥ab对任意的a,b∈R都成立.(4)√.因为=1.5,而≈1.414,所以>.又因为“≥”表示“>”或“=”有一个成立,即≥.2.(2020·某某高一检测)不等式a2+1≥2a中等号成立的条件是(　　)高考A

4、.a=±1B.a=1C.a=-1D.a=0【解析】选B.当a2+1=2a,即(a-1)2=0,即a=1时,等号成立.3.(教材二次开发:例题改编)当a,b∈R,下列不等关系成立的是(填序号). ①≥;②a-b≥2;③a2+b2≥2ab;④a2-b2≥2ab.【解析】根据≥ab,≥成立的条件判断,知①②④错,只有③正确.答案:③关键能力·合作学习类型一对基本不等式的理解(数学抽象、逻辑推理)1.(2020·某某高一检测)设0

5、.2y,当且仅当x-2y=1时取等号C.x≤2y,当且仅当x-2y=1时取等号D.x<2y,当且仅当x-2y=1时取等号3.(2020·某某高一检测)给出下面四个推导过程:高考①因为a,b∈(0,+∞),所以+≥2=2;②因为x,y∈(0,+∞),所以lgx+lgy≥2;③因为a∈R,a≠0,所以+a≥2=4;④因为x,y∈R,xy<0,所以+=-≤-2=-2.其中正确的推导过程序号为. 【解析】1

6、.选B.(解法一)因为b>a>0,所以>,2b>b+a,所以b>,所以a<<0,即x>2y,且等号成立时(x-2y)2=1,即x-2y=1.3.从基本不等式成立的条件考虑.①因为a,b∈(0,+∞),高考所以,∈(0,+∞),符合基本不等式的条件,故①的推导过程正确;②虽然x,y∈(0,+∞),但当x∈(0,1)时,lgx是负数,y∈(0,1)时,lgy是负数,所以②的推导过程是错

7、误的;③因为a∈R,不符合基本不等式的条件,所以③的推导过程错误;④由xy<0得,均为负数,但在推导过程中,将整体+提出负号后,-,-均为正数,符合基本不等式的条件,故④推导过程正确.答案:①④基本不等式的理解基本不等式的结构就是体现了“和式”与“积式”的相互转化,当题目中不等号的两端一端是“和式”而另一端是“积式”时,就要考虑利用基本不等式来解决,在应用过程中要注意“一正、二定、三相等”.【补偿训练】如果正数a,b,c,d满足a+b=cd=4,那么(　　)A.ab≤c+d,且等号成立时,a,b,c,d的

8、取值唯一B.ab≥c+d,且等号成立时,a,b,c,d的取值唯一C.ab≤c+d,且等号成立时,a,b,c,d的取值不唯一D.ab≥c+d,且等号成立时,a,b,c,d的取值不唯一【解析】选A.因为a+b=cd=4,所以由基本不等式得a+b≥2,故ab≤4.高考又因为cd≤,所以c+d≥4,所以ab≤c+d,当且仅当a=b=c=d=2时,等号成立.类型二利用基本不等式比较大小(数学运算、逻辑推理)【典例】(2020·某某高一检