2021年高考新数学解答题挑战满分专项训练2.8 圆锥曲线-定点定值定直线问题（理）解析版.docx

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1、专题2.8圆锥曲线-定点、定值、定直线问题1．定点问题解决步骤：（1）设直线代入二次曲线方程，整理成一元二次方程；（2）根与系数关系列出两根和及两根积；（3）写出定点满足的关系，整体代入两根和及两根积；（4）整理（3）所得表达式探求其恒成立的条件．2．定值、取值范围（最值）问题的基本思路：（1）假设直线方程，与圆锥曲线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；（2）利用求得变量的取值范围，得到根与系数关系的形式；（3）利用根与系数关系表示出所求量，将所求量转化为关于变量的函数的形式；（4）化简所得函数式，消元可得定值或利用函数值域的

2、求解方法求得取值范围（最值）．1．设椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上的点，且，．（1）求椭圆的标准方程；（2）设过椭圆右焦点且斜率为的动直线与椭圆相交于、两点，探究在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，试求出定值和点的坐标；若不存在，请说明理由．【试题来源】2021年新高考数学二轮复习讲义分层训练【答案】（1）；（2）存在，定值为－，定点为．【分析】（1）利用余弦定理结合三角形的面积公式可求得的值，求出的值，由、、三者的关系可求得的值，进而可得出椭圆的标准方程；（2）设点、，设直线的方程为，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出根与系

3、数关系，设点，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于、的表达式，根据已知条件求出的值，由此可得出结论．【解析】（1）在中，，可得，由余弦定理，，，可得，又，，则，因此，椭圆的标准方程为；（2）设点、，设直线的方程为，联立，消去可得，，由根与系数关系可得，，假设轴上存在定点，使得为定值．为定值，所以，，解得，此时，．因此，在轴存在定点，使得为定值．【名师点睛】求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．2．设常数．在平面直角坐标系xOy

4、中，已知点F(2，0)，直线l：x=t，曲线：，与x轴交于点A、与交于点B．P、Q分别是曲线与线段AB上的动点．（1）用t表示点B到点F距离；（2）设，，线段OQ的中点在直线FP上，求的面积；（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．【试题来源】2021年高三数学二轮复习讲练测（文理通用）【答案】（1）；（2）；（3）存在，．【分析】（1）方法一：设出点坐标，根据两点间距离公式求解出的值，方法二：根据抛物线的定义，即可求得的值；（2）根据抛物线的性质，求得点坐标，

5、即可求得的中点坐标，即可求得直线的方程，代入抛物线方程，即可求得点坐标，则的面积可求；（3）设坐标，根据求得直线的方程和点坐标，再根据求得点坐标，则根据可求得点坐标．【解析】（1）方法一：由题意可知设，则，所以；法二：由题意设，由抛物线的性质可知，所以；（2），，，，则，所以，所以，设的中点，所以，，则直线方程：，联立，整理得，解得，（舍去），所以的面积；（3）存在，设，，则且，所以，直线方程为，所以，，因为四边形为矩形，所以，则，所以，解得，即，所以存在以、为邻边的矩形，使得点在上，且．【名师点睛】解答本题第三问的关键在于利用矩形的

6、两个特点去分析问题：（1），由此可知，利用坐标完成计算；（2）平行四边形法则，由此可知向量关系式．3．已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，过点F的直线(不与x轴重合)与椭圆C相交于A，B两点，直线l：x＝2与x轴相交于点H，过点A作AD⊥l，垂足为D．（1）求四边形OAHB(O为坐标原点)的面积的取值范围．（2）证明：直线BD过定点E，并求出点E的坐标．【试题来源】【高频考点解密】2021年新高考数学二轮复习讲义分层训练【答案】（1）；（2）证明见解析，定点E．【分析】（1）直线AB的方程代入椭圆C，结合根与系数关系得两根关系，求出四

7、边形OAHB面积表达式，根据基本不等式求得取值范围；（2）由点坐标写出直线BD的方程的表达式，令y＝0，求出的表达式，结合（1）中两根关系进行化简计算得到定值即可．【解析】（1）由题设知F(1，0)，设直线AB的方程为x＝my＋1(m∈R)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去x并整理，得(m2＋2)y2＋2my－1＝0．，则y1＋y2＝－，y1y2＝－，所以

8、y1－y2

9、＝＝所以四边形OAHB的面积S＝×

10、OH

11、×

12、y1－y2

13、＝×2×＝令＝t，则，所以S＝＝，因为t＋≥2(当且仅当t＝1，即m＝0时取等号)，所以0＜S≤，故

14、四边形OAHB的面积的取值范围为；（2）由B(x2，y2)，D(2，y1)，可知直线BD的斜率k＝，所以直线BD的方程为y－y1＝(x－2)，令y＝0，得x＝＝　①由（1）知，y1＋y2＝－，y1y2＝－，所以y1＋y2