考点15 圆(原卷版).doc

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1、优选圆的基础知识★★★★○○○○圆的定义圆是一种几何图形，指的是平面中到一个定点距离为定值的所有点的集合．这个给定的点称为圆的圆心．作为定值的距离称为圆的半径．当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它的另一个端点的轨迹就是一个圆．圆的直径有无数条；圆的对称轴有无数条．圆的直径是半径的2倍，圆的半径是直径的一半．用圆规画圆时，针尖所在的点叫做圆心，一般用字母O表示．连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，一般用字母r表示，半径的长度就是圆规两个角之间的距离．通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，一般用字母d表示．圆是平面上的曲线图形，是一个轴对称图形，它的对称轴是直径所在的

2、直线，圆有无数条对称轴．圆的性质1．到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．这个定点叫做圆的圆心，通常用字母“o”表示．2．连接圆心和圆周上任意一点之间的连线叫做半径，通常用字母“r”表示．8/8优选3．通过圆心并且两个端点都在圆周上的线段叫做直径，通常用字母“d”表示．4．连接圆上任意两点的线段叫做弦． 最长的弦是直径．5．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．大于半圆的弧称为优弧，优弧是用三个字母表示．小于半圆的弧称为劣弧，劣弧用两个字母表示．半圆既不是优弧，也不是劣弧．字母表示圆—⊙；半径—r或R（在环形圆中外环半径表示的字母）；弧；直径d或D；扇形弧长-L；周长-C；面积-

3、S．圆的性质⑴圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线．圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心． 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．⑵有关圆周角和圆心角的性质和定理①在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等．②一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．直径所对的圆周角是直角．90度的圆周角所对的弦是直径．圆心角计算公式:　θ=(L/2πr)×360°=180°L/πr=L/r(弧度)（角度制与弧度制：

4、360°=2π）即圆心角的度数等于它所对的弧的度数；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．③如果一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍．⑶有关外接圆和内切圆的性质和定理①一个三角形有唯一确定的外接（∵三点确定一圆）   圆和内切圆．外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；8/8优选②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等．③R=2S△÷L（R：内切圆半径，S△：三角形面积，L：三角形周长）④两相切圆的连心线过切点（连心线：两个圆心相连的直线）⑤圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD

5、与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点．（4）如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段（直线也可）垂直平分公共弦．（5）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半．（6）圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半．（7）圆外角的度数等于这个角所截两段弧的度数之差的一半．（8）周长相等，圆面积比长方形、正方形、三角形的面积大．与切线有关的定理垂直于过切点的半径；经过半径的一端，并且垂直于这条半径的直线，是这个圆的切线．切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线的性质：（1）经过切点垂直于过切点的半径的直线是圆的切线．（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心

6、．（3）圆的切线垂直于经过切点的半径．切线长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长相等，那点与圆心的连线平分切线的夹角．切割线定理：圆的一条切线与一条割线相交于p点，切线交圆于C点，割线交圆于AB两点，则有割线定理 ：与切割线定理相似——同圆上两条割线m、n交于p点，割线m交圆于A1B1两点，割线n交圆于A2B2两点则pA1·pB1=pA2·pB2（可以把切割线定理看做是割线定理的极限情形）．8/8优选点和圆位置关系①P在圆O外，则．②P在圆O上，则．③P在圆O内，则．反之亦然．直线和圆位置关系①直线和圆无公共点，称相离．AB圆与圆O相离，d>r．②直线和圆有两个公共点，称相交，这条

7、直线叫做圆的割线．AB与⊙O相交，d