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1、精品文档最小二乘复频域法（PolyMax）SX1201069虞刚PolyMax模态识别方法,属于多自由度时域识别法,也称作多参考点最小二乘复频域法(Polyreferenceleastsquarescomplexfrequencydomainmethod)，是最小二乘复频域法(LSCF)的多输入形式，是一种对极点和模态参预因子进行整体估计的多自由度法,一般首先通过实验建立稳态图，以判定真实的模态频率、阻尼和参预因子；建立可以线性化的直交矩阵分式模型，然后基于正则方程缩减最小二乘问题,得到压缩正则方程,于是模态参数可以通过求
2、解最小二乘问题得到。该方法集合了多参考点法和LSCF方法的优点,可以得出非常清晰的稳态图,并且密集空间可以被分离出来,尤其在模态较密集的系统(动力总成系统)，或者FRF数据受到严重噪声污染的情况下仍可以建立清晰的稳态图，识别出高度密集的模态，对每一个模态的频率、阻尼和振型都有很好的识别精度,是国际最新发展并流行的基于传递函数的模态分析方法。其基本思想如下：（1）建立频率响应函数模型多参考点最小二乘复频域识别技术（PRLSCF或PolyMAX）要以频响函数矩阵作为识别的初始数据，其数学模型采用右矩阵分式模型来描述。在频域中，
3、系统输出o（o1,2,N0，其中N0为输出点数）和全部输入的关系可用右矩阵分式模型（RMFD）来描述，右矩阵分式模型的表达式为HoUo1（1）D式中：HoClNi—理论频响函数的第o行，Ni是输入点数，即激励数；UoClNi—分子多项式行向量；DoCNiNi—分母多项式矩阵。且Uo和Do可以表示成如下形式：NUoZrBor（o1,2,N0）（2）r0N（3）DoZrArr01欢迎下载。精品文档式中：N—多项式阶次其中分母系数矩阵ArRNiNi和分子系数行向量BorRlNi是待估计的参数。所有这些系数合并为一个矩阵。TTTT
4、（4）1N其中Bo0A0oBo1RN1Ni，oA1RNiN1Ni（5）BoNAN式（2）和式（3）中出现的多项式基函数Zr，一般地，有以下两种选择：ⅰ.对于连续时域模型，可取为ijZr（6）s式中：s1Ni—缩放因子，用来提高方程的数值状况。2ⅱ.对于离散时域模型，可取为ZrejTrs（7）式中：Ts—采样周期。通常采用离散时域模型。（2）参数的线性化通过试验测量出的频率响应函数矩阵~CNoNi~C1Ni表Hf，用Hof示实测频响矩阵的第o行，o1,2,,No,f1,2,,Nf，那么关于参数矩阵的非线性最小二乘（NLS）目
5、标函数可表示为NoNfNLSHNLS（8）trf,nlsof,oo1f1式中：?H－矩阵的复共扼转置；2欢迎下载。精品文档tr?－矩阵的迹，即矩阵的主对角元素之和。通过对式（8）求极小值，便可以得到频率响应函数矩阵的右分式矩阵模型各系数的估计值，即矩阵的估计值。式（8）中的加权非线性最小二乘误差函数被定义：NLS~WofUof,oD1~of,WofHof,Hoff,Hof（9）上式中Wof是一个加权函数。一般地，为了提高估计的质量，我们采用WoHof（10）fvarHof式中：var?—方差，可用相关函数求取。也可使用公式
6、1（11）WofvarHof来做加权函数的。这两种加权函数都考虑了测量频响函数数据的好坏：测得频响的方差越小，对目标函数的贡献越大。非线性误差函数可以经过一个近似的处理为一个线性的问题。实际上，通过对oNLSf,右乘Df,，则可以得到一个关于参数为线性的方程，此加权LS线性最小二乘（LS）方程误差of,为LSNLSf,Df,of,o%1（12）WofUof,oD,HofDf,fN%WofzrfBorzrfArHor0这样式（12）关于参数为线性，将所有频率点装配成一列，f1,2,L,Nf，它可用矩阵形式来表示LS1,oLS
7、MXoYooo（13）oJoLS,oNf其中：3欢迎下载。o和精品文档Wo1zo1,z11,L,zN1XoMCNfN1（14）WoNfzoNf,z1Nf,L,zNNfWo1zo1,z11,L,zN1%1HoYoMCNfNiN1（15）WoNfzoNf,z1Nf,L,zNNf%NfHo式中，—Kronecker积。（3）缩减标准方程加权线性最小二乘估计表达式为NoLSHLSlLStrooo1（16）NoTTRoSootroSoTToo1式中：RoReXoHXoRN1N1SoHYoN1NiN1ReXoRToHRNiN1NiN1
8、ReYoYo同时，目标函数（16）等价于lLStrTReJHJ式中，J是Jacobian矩阵，被如下定义X10L0Y10X2LMY2NNN1NNJOMCofoiMMM00LXNoYNo（17）（18）为使lLS值最小，将lLS对系数矩阵求导，并令其为零lolLS2RooSo0o1,2,L,No（19
