专题21 函数与导数综合-2020年高考数学（理）母题题源解密（全国Ⅱ专版）（解析版）.docx

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1、专题21函数与导数综合【母题来源一】【2020年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数f(x)=sin2xsin2x.（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；（2）证明：；（3）设n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤.【答案】（1）当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增.（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号，最后确定原函数的单调性即可；(2)首先确定函数的周期性，然后结合(1)中的结论确定函数在一个周期内的最

2、大值和最小值即可证得题中的不等式；(3)对所给的不等式左侧进行恒等变形可得，然后结合(2)的结论和三角函数的有界性进行放缩即可证得题中的不等式.【解析】(1)由函数的解析式可得：，则：，在上的根为：，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增.(2)注意到，故函数是周期为的函数，结合(1)的结论，计算可得：，，，据此可得：，，即.(3)结合(2)的结论有：.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往

3、往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．【母题来源二】【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数．（1）讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点；（2）设是的一个零点，证明曲线在点处的切线也是曲线的切线．【答案】（1）函数在和上是单调增函数，证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）的定义域为．因为，所以在，上单调递增．因为，，所以在上有唯一零点，即．又，，故在上有唯一零点．综上，有且仅

4、有两个零点．（2）因为，故点在曲线上．由题设知，即，故直线AB的斜率．曲线在点处切线的斜率是，曲线在点处切线的斜率也是，所以曲线在点处的切线也是曲线的切线．【母题来源三】【2018年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数．（1）若，证明：当时，；（2）若在只有一个零点，求．【答案】（1）证明见解析；（2）e24．【分析】（1）先构造函数g(x)=(x2+1)e-x-1，再求导函数，根据导函数不大于零得函数单调递减，最后根据单调性证得不等式；（2）研究f(x)零点，等价研究h(x)=1-ax2e-x的零点，先求h(x)导数：h'(x

5、)=ax(x-2)e-x，这里产生两个讨论点，一个是a与零，一个是x与2，当a≤0时，h(x)>0，h(x)没有零点；当a>0时，h(x)先减后增，从而确定只有一个零点的必要条件，再利用零点存在定理确定条件的充分性，即得a的值．【解析】（1）当时，等价于．设函数，则．当时，，所以在单调递减．而，故当时，，即．（2）设函数．在只有一个零点当且仅当在只有一个零点．当时，，没有零点；当时，．当时，；当时，．所以在单调递减，在单调递增．故是在的最小值．①若，即，在没有零点；②若，即，在只有一个零点；③若，即，由于，所以在有一个

6、零点，由（1）知，当时，，所以．故在有一个零点，因此在有两个零点．综上，在只有一个零点时，．【名师点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法：（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解．【命题意图】1．导数概念及其几何意义（1）了解导数概念的实际背景．（2）理解导数的几何意义．2．导数的运算（1）能根据导数定义求函数y=C（C为常数），的导数．（2）能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则

7、运算法则求简单函数的导数．3．导数在研究函数中的应用（1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）．（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）．4．生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题．5．考查数学式子变形能力、运算求解能力、分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想及分析问题与解决问题的能力．【命题规律】从全国

8、看，高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一般有三个层次：（1）主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；（2）导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；（3）综合考查，如零点、证明不等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有