高考数学常见难题大盘点：数列.docx

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1、▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚=^_^=成就梦想▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌2013高考数学常见难题大盘点：数列1.已知函数f(x)x2x1，,是方程f(x)＝0的两个根()，f'(x)是f(x)的导数；设a11，an1anf(an)(n＝1，2，⋯⋯)f'(an)(1)求,的值；(2)证明：对任意的正整数n，都有an＞a；解析：(1)∵f(x)x2x1，,是方程f(x)＝0的两个根()，∴15,125；22an11an(2an1)1(2an1)5(2)f'(x)2x1，ananan2441an2an2an111515151＝(2an1)4，∵a11，∴

2、有基本不等式可知a20(当且仅当a142an1222时取等号)，∴a2510同，样a351，⋯⋯，an51(n＝1，2，⋯⋯)，2222an1n22.已知数列an的首项a12a1（a是常数，且a1），an4n2（n2），数列bn的首项b1a，bnann2（n2）。（1）证明：bn从第2项起是以2为公比的等比数列；（2）设Sn为数列bn的前n项和，且Sn是等比数列，求实数a的值；（3）当a>0时，求数列an的最小项。分析：第（1）问用定义证明，进一步第（2）问也可以求出，第（3）问由a的不同而要分类讨论。解：（1）∵bnann2∴bn1an1(n1)22

3、an(n1)24(n1)2(n1)22an2n22bn(n≥2)由a12a1得a24a，b2a244a4，∵a1，∴b20，即{bn}从第2项起是以2为公比的等比数列。（2）Sna(4a4)(2n11)3a4(2a2)2n21当n≥2时，Sn(2a2)2n3a423a4Sn1(2a2)2n13a4(a1)2n13a4∵{Sn}是等比数列,∴Sn(n≥2)是常数，Sn1∴3a+4=0，即a4。3(4a4)2n2(a1)2n，（3）由（1）知当n2时，bn▃▄▅▆▇██■▓点亮心灯~~~///(^v^)\~~~照亮人生▃▄▅▆▇██■▓▁▂▃▄▅▆▇█

4、▉▊▋▌精诚凝聚=^_^=成就梦想▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌所以an2a1(n1)(a1)2n，n2(n2)所以数列an为2a+1，4a，8a-1，16a，32a+7，⋯⋯显然最小项是前三项中的一项。当a(0,1)时，最小项为8a-1；14当a或8a-1；时，最小项为4a4当a114a；(,)时，最小项为42当a1或2a+1；时，最小项为4a2当a(1,)时，最小项为2a+1。2点评：本题考查了用定义证明等比数列，分类讨论的数学思想，有一定的综合性。考点二：求数列的通项与求和3.已知数列{an}中各项为：12、1122、111222、⋯⋯、111222⋯

5、⋯1424314243n个n个（1）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积.（2）求这个数列前n项之和Sn.分析：先要通过观察，找出所给的一列数的特征，求出数列的通项，进一步再求和。解：（1）an1(10n1)10n2(10n1)991n1)(10n2)10n110n1(10()(1)933记：A=10n1,则A=33433为整数3142nan=A(A+1)，得证(2)Qan1102n110n2999Sn1(102104102n)1(1010210n)2n1999(102n21110n1198n210)891点评：本题难点在于求出数列的通项，再将这

6、个通项“分成”两个相邻正数的积，解决此题需要一定的观察能力和逻辑推理能力。▃▄▅▆▇██■▓点亮心灯~~~///(^v^)\~~~照亮人生▃▄▅▆▇██■▓▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚=^_^=成就梦想▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌4.已知数列an1an1(n2,nN)．满足a1，an41nan12（Ⅰ）求数列an的通项公式an；（Ⅱ）设bn1，求数列bn的前n项和Sn；an2（Ⅲ）设cnansin(2n1)，数列cn的前n项和为Tn．求证：对任意的nN，42Tn．7分析：本题所给的递推关系式是要分别“取倒”再转化成等比型的数列，对数列中不等式的证明

7、通常是放缩通项以利于求和。解：（Ⅰ）1(1)n2，1(1)n(2)[1(1)n1]，anan1anan1又1(1)3，数列11n是首项为3，公比为2的等比数列．a1an1(1)n3(2)n1，即an(1)n11.an32n1（Ⅱ）bn(32n11)294n162n11．Sn91(14n)61(12n)n34n62nn9．1412（Ⅲ）sin(2n1)(1)n1，2cn(1)n11．3(2)n1(1)n32n11当n3时，则Tn111131321322132n111111111121[1(21)n2]4732233n128113222111[1(1)n2

8、]11147484．286228684847TTT对任意的nN，Tn4．123，7an的通项点