高中数学选修2-2数系的扩充和复数的概念.docx

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1、3.1.1数系的扩充和复数的概念[学习目标]1.了解引进复数的必要性，理解并掌握虚数单位i.2.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件.知识点一复数的引入在实数范围内，方程x2＋1＝0无解.为了解决x2＋1＝0这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数i，使i是方程x2＋1＝0的根，即使i·i＝－1.把这个新数i添加到实数集中去，得到一个新数集.把实数a与实数b和i相乘的结果相加，结果记作a＋bi(a，b∈R)，这些数都应在新数集中.再注意到实数a和数i，也可以看作是a＋bi(a，b∈R)这样的数的特殊形式，所以实数系经过扩充后得到的新数集应

2、该是C＝{a＋bi

3、a，b∈R}，称i为虚数单位.思考(1)分别在有理数集、实数集、复数集中分解因式x4－25.(2)虚数单位i有哪些性质？答案(1)在有理数集中：x4－25＝(x2＋5)(x2－5).在实数集中：x4－25＝(x2＋5)(x2－5)＝(x2＋5)(x＋5)(x－5).在复数集中：x4－25＝(x2＋5)(x2－5)＝(x2＋5)(x＋5)(x－5)＝(x＋5i)(x－5i)(x＋5)(x－5).(2)虚数单位i有如下几个性质：①i的平方等于－1，即i2＝－1；②实数与i可进行四则运算，并且原有的加法、乘法运算律仍然成立；③i的乘方：i

4、4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*).知识点二复数的概念、分类1.复数的有关概念(1)复数的概念：形如a＋bi的数叫做复数，其中a，b∈R，i叫做虚数单位.a叫做复数的实第1页共8页部，b叫做复数的虚部.(2)复数的表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi.(3)复数集定义：全体复数所构成的集合叫做复数集.通常用大写字母C表示.2.复数的分类及包含关系实数b＝0(1)复数(a＋bi，a，b∈R)纯虚数a＝0虚数b≠0非纯虚数a≠0(2)集合表示：思考(1)两个复数一定能比较大小吗？(2)复数a＋bi的实部是a，

5、虚部是b吗？答案(1)不一定，只有当这两个复数是实数时，才能比较大小.(2)不一定，对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，实部才是a，虚部才是b.知识点三复数相等复数相等的充要条件设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d.即它们的实部与虚部分别对应相等.思考(1)若复数z＝a＋bi(a，b∈R).z＝0，则a＋b的值为多少？(2)若复数z1，z2为z1＝3＋ai(a∈R)，z2＝b＋i(b∈R)，且z1＝z2，则a＋b的值为多少？答案(1)0；(2)4.题型一复数的概念例1写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚

6、数.1①2＋3i；②－3＋2i；③2＋i；④π；⑤－3i；⑥0.1解①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为2，是虚数；③的实部为2，虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－3，是纯虚数；⑥的实部为0，虚部为0，是实数.反思与感悟复数a＋bi(a，b∈R)中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部.特别注意，b第2页共8页为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部.跟踪训练1下列命题中，正确命题的个数是()①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；②若a，b∈R且a＞b，则a＋i

7、＞b＋i；③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.A.0B.1C.2D.3答案A解析①由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，所以①是假命题.②由于两个虚数不能比较大小，所以②是假命题.③当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0成立，所以③是假命题.故选A.题型二复数的分类例2设z＝log1(m－1)＋ilog2(5－m)(m∈R).2(1)若z是虚数，求m的取值范围；(2)若z是纯虚数，求m的值.解(1)因为z是虚数，故其虚部log2(5－m)≠0，m－1＞0，m应满足的条件是5－m＞0，解得1＜m＜5，且m≠4.5－m≠1

8、，(2)因为z是纯虚数，故其实部log1(m－1)＝0，虚部log2(5－m)≠0，2m－1＝1，m应满足的条件是5－m＞0，解得m＝2.5－m≠1，反思与感悟将复数化成代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，根据复数的分类：当b＝0时，z为实数；当b≠0时，z为虚数；特别地，当b≠0，a＝0时，z为纯虚数，由此解决有关复数分类的参数求解问题.跟踪训练2实数k为何值时，复数z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)分别是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零.解由z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2

9、－5k－6)i.(1)当k2－5k－6＝0时，z∈R，即k＝6或k＝－1.(2)当k2－5k－