高中数列求和公式.docx

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1、数列求和的基本方法和技巧利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、等差数列求和公式：Snn(a1an)na1n(n1)d22na1qn)(q1)、等比数列求和公式：Sna1(1a1anq2(q1)1q1qn3、Snk1k1n(n1)自然数列2n1n(n4、Snk21)(2n1)自然数平方组成的数列k16[例1]已知log3x1，求xx2x3xn的前n项和.log23解：由log3x1log3xlog32x1log232由等比数列求和公式得Snxx2x3xn（利用常用公式）x(1xn)1

2、(11)＝22n1＝1x1＝1－2n12[例2]设Sn＝1+2+3+⋯+n，n∈N*,求f(n)Sn的最大值.(n32)Sn1解：由等差数列求和公式得Sn1n(n1)，Sn1(n1)(n2)（利用常用公式）22∴f(n)Sn＝n(n32)Sn134n64n2＝1＝11648250n34(n)50nn∴当n8，即n＝8时，f(n)max1850二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.

3、错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n和公式的推导方法）.1[例3]求和：Sn13x5x27x3(2n1)xn1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯①解：由题可知，{(2n1)xn1}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{xn1}的通项之积设xSn1x3x25x37x4(2n1)xn⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.②（设制错位）①－②得(1x)Sn12x2x22x32x42xn1(2n1)xn（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：(1x)Sn11

4、xn1(2n1)xn2x1x∴Sn(2n1)xn1(2n1)xn(1x)(1x)22462n前n项的和.[例4]求数列2,22,23,,2n,解：由题可知，{2n}{2n}的通项与等比数列{1n的通项是等差数列n}的通项之积22设Sn2462n⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯①222232n1Sn2462n（设制错位）2234n1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯②2222①－②得(11)Sn222222n（错位相减）222223242n2n1212n2n12n1∴Sn4n22n1练习：*提示：不要觉得重复和无聊，乘公比

5、错位相减的关键就是熟练！通项为{an·bn},1、an是自然数列，bn是首项为1，q为2的等比数列2、an是正偶数数列，bn是首项为1，q为2的等比数列3、an是正奇数数列，bn是首项为1，q为2的等比数列4、an是正偶数数列，bn是首项为3，q为3的等比数列5、an是正奇数数列，bn是首项为3，q为3的等比数列6、an是自然数列，bn是首项为3，q为3的等比数列三、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

6、[例5]求数列的前n项和：114,17,,113n2，⋯1,a2naa解：设Sn(11)(14)(127)(1n13n2)aaa将其每一项拆开再重新组合得Sn1111)(1473n2)(1a2an（分组）a2(3n1)n(3n1)n当a＝1时，Snn＝（分组求和）2211(3n1)naa1n(3n1)n当a1时，Snan12＝a121a[例6]求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.解：设akkk1)(2kk3k2k(1)23nn∴Snk(k1)(2k1)＝(2k33k2k)k1k1将其每一项拆开再

7、重新组合得nnnSn＝2k33k2k（分组）k1k1k1＝2(1323n3)3(1222n2)(12n)n2(n1)2n(n1)(2n1)n(n1)（分组求和）＝222n(n1)2(n2)＝2四、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：（1）anf(n1)f(n)（2）an111n(n+2)呢？---重点掌握这个型1)nn====》升级分母是n(n1裂项相消法：如果数列的通项可“分

8、裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：①11)11；②1k)1(11)；n(nnn1n(nknnk③111(11)，1111111；k2k212k1k1kk1(k1)kk2(k1)kk1k④12)1[11)(n1]；⑤n11；n(n1)(n2n(n1)(n2)(n1)!n!(n1)!⑥2(n1n)2122(nn1)nn1nnn1[例7]求数列1,1,,1,的前n项和.2nn1231