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《求轨迹方程的常用方法(例题及变式).docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、。求轨迹方程的常用方法：题型一直接法此法是求轨迹方程最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件{M
2、P(M)}直接翻译成x,y的形式f(x,y)0，然后进行等价变换，化简f(x,y)0，要注意轨迹方程的纯粹性和完备性，即曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点适合这个条件而毫无例外（纯粹性）；反之，适合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏（完备性）。例1过点A(2,3)任作互相垂直的两直线AM和AN，分别交x,y轴于点M,N，求线段MN中点P的轨迹方程。解：设P点坐标为P(x,y)，由中点坐标公式及M,N在轴上得M(0,2y)，N(2x,0)(x,y
3、R)AMANkAMkAN1032y31(x1)，化简得4x6y130(x1)2x2023当时，M(0,3)，N(2,0)，此时MN的中点P(1,0，x1)它也满足方程4x6y132所以中点P的轨迹方程为4x6y130。变式1已知动点M(x,y)到直线l:x4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍。（1）求动点M的轨迹C的方程；（2）过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A,B两点。若A是PB的中点，求直线m的斜率。题型二定义法-可编辑修改-。圆锥曲线定义所包含的几何意义十分重要，应特别重视利用圆锥曲线的定义解题，包括用定义法求轨迹方程。例2动圆M过定点P(4,0)
4、，且与圆C:x2y28x0相切，求动圆圆心M的轨迹方程。解：根据题意
5、
6、MC
7、
8、MP
9、
10、4，说明点M到定点C、P的距离之差的绝对值为定值，故点M的轨迹是双曲线。2a4a2，c4bc2a212x2y2故动圆圆心M的轨迹方程为1412变式2在△ABC中，BC24，AC，AB上的两条中线长度之和为39，求△ABC的重心的轨迹方程．解：以线段BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立直角坐标系，如图1，M为重心，则有BMCM226．393∴M点的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，其中c12，a13．∴ba2c25．∴所求△ABC的重心的轨迹方程为x2y20)1691(y2
11、5题型三相关点法此法的特点是动点M(x,y)的坐标取决于已知曲线C上的点(x',y')的坐标，可先用x,y来表示x',y'，再代入曲线C的方程f(x,y)0，即得点M的轨迹方程。-可编辑修改-。例3如图，从双曲线x2y21上一点Q引直线xy2的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程分析：从题意看动点P的相关点是Q，Q在双曲线上运动，所以本题适合用相关点法。解：设动点P的坐标为(x,y)，点Q的坐标为(x1,y1)，则点N的坐标为(2xx1,2yy1)N在直线xy2上，2xx12yy12⋯①又PQ垂直于直线xy2，yy11，即xyy1x10⋯②xx1x131
12、12xy由①②解得2⋯③13y1x12y2又点Q在双曲线x2y21上，x12y121⋯④③代入④，得动点P的轨迹方程为2x22y22x2y10变式3已知△ABC的顶点B(3，0)，C(10)，，顶点A在抛物线yx2上运动，求△ABC的重心G的轨迹方程．x31x0，x0，①解：设G(x，y)，A(x0，y0)，由重心公式，得3∴3x2又y0y0．②y，3y3∵A(x0，y0)在抛物线yx2上，∴y0x02．③将①，②代入③，得3y(3x2)2(y0)，即所求曲线方程是y3x240)．4x(y3-可编辑修改-。题型四参数法选取适当的参数，分别用参数表示动点坐标x,y
13、，得出轨迹的参数方程，消去参数，即得其普通方程，选参数时必须首先充分考虑到制约动点的各种因素，然后在选取合适的参数，因为参数不同，会导致运算量的不同，常见的参数有截距、角度、斜率、线段长度等。AA2a，直线l垂直平分AA于O，在l上取两点uuuruuuur例4已知线段P，P，使有向线段，OPOPuuuruuuur4，求直线AP与AP的交点M的轨迹方程．满足·OPOP解：如图2，以线段AA所在直线为x轴，以线段AA的中垂线为y轴建立直角坐标系．设点P(0，t)(t0)，4，．则由题意，得P0t由点斜式得直线AP，AP的方程分别为yt(xa)，y4(xa)．ata两
14、式相乘，消去t，得4x2a2y24a2(y0)．这就是所求点M的轨迹方程．变式4设椭圆方程为x2y21，过点M(0,1)的直线l交椭圆于点A，B，O是坐标原4点，l上的动点P满足OP1OAOB，点N的坐标为(1,1)，当l绕点N旋转时，2()22求：（1）动点P的轨迹方程；（2）
15、NP
16、的最小值与最大值.分析：（1）设出直线l的方程，与椭圆方程联立，求出x1x2,y1y2，进而表示出点P坐标，用消参法求轨迹方程；（2）将
17、NP
18、表示成变量x的二次函数。解：（1）法一：直线l过点M(0,1)，当l的斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为ykx1。设A(x1,y1)
19、，B(x2,y2)，由题
