函数的连续性复习.docx

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1、分段函数的极限和连续性x(0x1)例设f(x)1(x1)21(1x2)（1）求f(x）在点x1处的左、右极限，函数f(x）在点x1处是否有极限？（2）函数f(x）在点x1处是否连续？（3）确定函数f(x）的连续区间．分析：对于函数在给定点x0处的连续性，关键是判断函数当xx0时的极限是f(x）否等于f(x0)；函数在某一区间上任一点处都连续，则在该区间上连续．解：（1）limf(x)limx1x1x1limf(x)lim11x1x1∴lim()1x1fx函数f(x）在点x1处有极限．1（2）f(1)limf

2、(x)2x1函数f(x）在点x1处不连续．（3）函数f(x）的连续区间是（0，1），（1，2）．说明：不能错误地认为f(1)存在，则f(x）在x1处就连续．求分段函数在分界点x0的左右极限，一定要注意在分界点左、右的解析式的不同．只有limf(x)limf(x),limf(x)才存在．xx0xx0xx0函数的图象及连续性例已知函数x24f(x)，x2（1）求f(x）的定义域，并作出函数的图象；（2）求f(x）的不连续点x0；（3）对f(x）补充定义，使其是R上的连续函数．分析：函数是一个分式函数，它的定义域

3、是使分母不为零的自变量x的取值范围，f(x）给函数补充定义，使其在R上是连续函数，一般是先求limf(x)，再让f(x）xx0f(x0)limf(x)即可．xx0解：（1）当x20时，有x2．因此，函数的定义域是,22,当x2时，x242.f(x)xx2其图象如下图．（2）由定义域知，函数的不连续点是x02．f(x）（3）因为当x2时，f(x)x2所以limf(x)lim(x2)4x2x2因此，将f(x）的表达式改写为x24(x2)f(x)x24(x2)则函数f(x）在R上是连续函数．说明：要作分式函数的图

4、象，首先应对函数式进行化简，再作函数的图象，特别要注意化简后的函数与原来的函数定义域是否一致．利用函数图象判定方程是否存在实数根例利用连续函数的图象特征，判定方程2x35x10是否存在实数根．分析：要判定方程f(x)0是否有实根，即判定对应的连续函数yf(x)的图象是否与x轴有交点，因此只要找到图象上的两点，满足一点在x轴上方，另一点在x轴下方即可．解：设f()2x35x1，则f(x）是R上的连续函数．x又f(0)1,f(3)380，因此在3,0内必存在一点x0，使f(x0)0，所以x0是方程2x35x10

5、的一个实根．所以方程2x35x10有实数根．说明：作出函数yf(x)的图象，看图象是否与x轴有交点是判别方程f(x)0是否有实数根的常用方法，由于函数f(x)2x35x1是三次函数，图象较难作出，因此这种方法对本题不太适用．函数在区间上的连续性例x240,2上呢？函数f(x)在区间（0，2）内是否连续，在区间x2分析：开区间内连续是指内部每一点处均连续，闭区间上连续指的是内部点连续，左点处右连续，右端点处左连续．x242（xR且x2）解：f(x)xx2任取0x02，则limf(x)lim(x2)x02f(x

6、0)xx0xx0∴f(x)在（0，2）内连续．但f(x)在x2处无定义，∴f(x)在x2处不连续．从而f(x)在0,2上不连线说明：区间上的连续函数其图象是连续而不出现间断曲线．函数在某一点处的连续性讨论函数f(x)(lim1xn1例n)x(0x)在x1与x点处的连续性n1x2分析：分类讨论不仅是解决问题的一种逻辑方法，也是一种重要的数学思想．明确讨论对象，确立分类标准，正确进行分类，以获得阶段性的结论，最后归纳综合得出结果，是分类讨论的实施方法．本题极限式中，若不能对x以1为标准，分三种情况分别讨论，则无

7、法获得f(x)的表达式，使解答搁浅．讨论f(x)在x1与x1f(x)的图像，则可由图像的直观信点处的连续性，若作出2息中得出结论，再据定义进行解析论证．由于f(x)的表达式并非显式，所以须先求出f(x)的解析式，再讨论其连续性，其中极限式中含xn，故须分类讨论．解：（1）求f(x)的表达式：①当②当1limxnx10xxx1时，f(x)n1limxn10n(1)n101x1时，f(x)limxnxxxx1)101(x③当x1时，f(x)lim11nnx0x110,0x1∴f(x)0,x1x,1x（2）讨论

8、f(x)在x1点处的连续性：limf(x)limx1,limf(x)lim(x)1x1x1x1x1∴limf(x)不存在，f(x)在x1点处不连续x1（3）讨论f(x)在x1点处的连续性：2limf(x)limx1,limf(x)limx1x1x12x1x122222limf(x)limx1,limf(x)lim12xxxxx211112222∴limf(x)1f(1)，f(x)在x1点处连续．1222x2根据函