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时间:2021-04-21
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1、2011届高考数学总复习直通车课件-不等式第一节不等关系与不等式基础梳理1.不等式的定义:用不等号≠、>、<、≥、≤连接两个数或代数式的式子叫做不等式.2.不等式的基本性质(1)a>bb<a;(2)a>b,b>ca>c;(3)a>ba+c>b+c;(4)a>b,c>0ac>bc;(5)a>b,c<0acb,c>da+c>b+d;(7)a>b>0,c>d>0ac>bd;(8)a>b>0,n∈N*,n>1>,>.3.实数比较大小的方法(1)a-b>0a>b;(2)a-b=
2、0a=b;(3)a-b<0a3、学符号之间的正确转换,这关系到能否正确地用不等式表示出不等关系.常见的文字语言与数学符号之间的转换关系如下表:学后反思(1)准确记忆不等式性质成立的条件,是正确应用性质的前提.(2)在不等式的判断中,举反例推翻结论是常用方法,如本例题①中令c=0,则知结论错误.举一反三2.若a>b>0,c4、面积,住宅采光条件是变好了,还是变坏了?请说明理由.证明:∵c-d>0.又∵a>b>0,∴a-c>b-d>0,∴,∴.又∵e<0,∴分析要确定住宅采光条件是变好了,还是变坏了,就是要比较原来窗户面积和地板面积的比值与窗户面积和地板面积增加以后的比值哪个大哪个小.如果是增加了面积以后的窗户面积和地板面积的比值大,则采光条件变好了,否则采光条件变坏或没变.解设原来的窗户面积与地板面积分别为a,b,窗户面积和地板面积同时增加的面积为c,窗户面积与地板且≥10%.,则现有窗户面积与地板面积分5、别为a+c与b+c,面积均增加c以后的窗户面积与地板面积之比为,因此要确定采光条件的好坏,就转化成比较与的大小,采用作差比较法因为a>0,b>0,c>0,又由题设条件可知a6、方等,变形的目的是有利于判断符号,因此变形越彻底,越有利于下一步的判断.“作商比较法”的依据是“”,是把两数的大小比较转化为一代数式与“1”进行比较,在代数式结构含有幂、根式或绝对值时,可采用此方法.在用“比较法”时,有时可先将原代数式变形后再作差或作商进行比较,若是选择题还可用特殊值法判断数的大小关系.举一反三3.设a、b是不相等的正数,,试比较A、G、H、Q的大小.解析:∵a,b为不相等的正数,∴即H7、四利用不等式性质求范围【例4】(12分)设,1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围.分析易知1≤a-b≤2,2≤a+b≤4,只要将f(-2)=4a-2b用a+b和a-b表示出来,再利用不等式性质求解4a-2b的取值范围即可.解方法一:设f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m、n为待定系数),则4a-2b=m(a-b)+n(a+b),……………………………2′即4a-2b=(m+n)a+(n-m)b,………………………….4′于是得,解得,………………..6′∴f(-2)=3f(8、-1)+f(1)……………………………..8′又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,…………………………..10′即5≤f(-2)≤10…………………………………….12′方法二:由得∴f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1)………………………9′又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,……………………10′∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,即5≤f(-2)≤10…………12′学后反思由,求的取值范围,可
3、学符号之间的正确转换,这关系到能否正确地用不等式表示出不等关系.常见的文字语言与数学符号之间的转换关系如下表:学后反思(1)准确记忆不等式性质成立的条件,是正确应用性质的前提.(2)在不等式的判断中,举反例推翻结论是常用方法,如本例题①中令c=0,则知结论错误.举一反三2.若a>b>0,c4、面积,住宅采光条件是变好了,还是变坏了?请说明理由.证明:∵c-d>0.又∵a>b>0,∴a-c>b-d>0,∴,∴.又∵e<0,∴分析要确定住宅采光条件是变好了,还是变坏了,就是要比较原来窗户面积和地板面积的比值与窗户面积和地板面积增加以后的比值哪个大哪个小.如果是增加了面积以后的窗户面积和地板面积的比值大,则采光条件变好了,否则采光条件变坏或没变.解设原来的窗户面积与地板面积分别为a,b,窗户面积和地板面积同时增加的面积为c,窗户面积与地板且≥10%.,则现有窗户面积与地板面积分5、别为a+c与b+c,面积均增加c以后的窗户面积与地板面积之比为,因此要确定采光条件的好坏,就转化成比较与的大小,采用作差比较法因为a>0,b>0,c>0,又由题设条件可知a6、方等,变形的目的是有利于判断符号,因此变形越彻底,越有利于下一步的判断.“作商比较法”的依据是“”,是把两数的大小比较转化为一代数式与“1”进行比较,在代数式结构含有幂、根式或绝对值时,可采用此方法.在用“比较法”时,有时可先将原代数式变形后再作差或作商进行比较,若是选择题还可用特殊值法判断数的大小关系.举一反三3.设a、b是不相等的正数,,试比较A、G、H、Q的大小.解析:∵a,b为不相等的正数,∴即H7、四利用不等式性质求范围【例4】(12分)设,1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围.分析易知1≤a-b≤2,2≤a+b≤4,只要将f(-2)=4a-2b用a+b和a-b表示出来,再利用不等式性质求解4a-2b的取值范围即可.解方法一:设f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m、n为待定系数),则4a-2b=m(a-b)+n(a+b),……………………………2′即4a-2b=(m+n)a+(n-m)b,………………………….4′于是得,解得,………………..6′∴f(-2)=3f(8、-1)+f(1)……………………………..8′又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,…………………………..10′即5≤f(-2)≤10…………………………………….12′方法二:由得∴f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1)………………………9′又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,……………………10′∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,即5≤f(-2)≤10…………12′学后反思由,求的取值范围,可
4、面积,住宅采光条件是变好了,还是变坏了?请说明理由.证明:∵c-d>0.又∵a>b>0,∴a-c>b-d>0,∴,∴.又∵e<0,∴分析要确定住宅采光条件是变好了,还是变坏了,就是要比较原来窗户面积和地板面积的比值与窗户面积和地板面积增加以后的比值哪个大哪个小.如果是增加了面积以后的窗户面积和地板面积的比值大,则采光条件变好了,否则采光条件变坏或没变.解设原来的窗户面积与地板面积分别为a,b,窗户面积和地板面积同时增加的面积为c,窗户面积与地板且≥10%.,则现有窗户面积与地板面积分
5、别为a+c与b+c,面积均增加c以后的窗户面积与地板面积之比为,因此要确定采光条件的好坏,就转化成比较与的大小,采用作差比较法因为a>0,b>0,c>0,又由题设条件可知a
6、方等,变形的目的是有利于判断符号,因此变形越彻底,越有利于下一步的判断.“作商比较法”的依据是“”,是把两数的大小比较转化为一代数式与“1”进行比较,在代数式结构含有幂、根式或绝对值时,可采用此方法.在用“比较法”时,有时可先将原代数式变形后再作差或作商进行比较,若是选择题还可用特殊值法判断数的大小关系.举一反三3.设a、b是不相等的正数,,试比较A、G、H、Q的大小.解析:∵a,b为不相等的正数,∴即H7、四利用不等式性质求范围【例4】(12分)设,1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围.分析易知1≤a-b≤2,2≤a+b≤4,只要将f(-2)=4a-2b用a+b和a-b表示出来,再利用不等式性质求解4a-2b的取值范围即可.解方法一:设f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m、n为待定系数),则4a-2b=m(a-b)+n(a+b),……………………………2′即4a-2b=(m+n)a+(n-m)b,………………………….4′于是得,解得,………………..6′∴f(-2)=3f(8、-1)+f(1)……………………………..8′又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,…………………………..10′即5≤f(-2)≤10…………………………………….12′方法二:由得∴f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1)………………………9′又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,……………………10′∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,即5≤f(-2)≤10…………12′学后反思由,求的取值范围,可
7、四利用不等式性质求范围【例4】(12分)设,1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围.分析易知1≤a-b≤2,2≤a+b≤4,只要将f(-2)=4a-2b用a+b和a-b表示出来,再利用不等式性质求解4a-2b的取值范围即可.解方法一:设f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m、n为待定系数),则4a-2b=m(a-b)+n(a+b),……………………………2′即4a-2b=(m+n)a+(n-m)b,………………………….4′于是得,解得,………………..6′∴f(-2)=3f(
8、-1)+f(1)……………………………..8′又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,…………………………..10′即5≤f(-2)≤10…………………………………….12′方法二:由得∴f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1)………………………9′又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,……………………10′∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,即5≤f(-2)≤10…………12′学后反思由,求的取值范围,可
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