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1、2011届高考数学总复习直通车课-基本初等函数(Ⅱ)(1)第一节任意角与弧度制及任意角的三角函数基础梳理1.弧度制(1)弧AB的长=半径∠AOB=1弧度.rad=360°,1rad≈=.(2)扇形半径为r，圆心角的弧度数是α,则这个扇形的弧长l=
2、α
3、r,面积S=
4、α
5、,周长=
6、α
7、r+2r.2.角的概念的推广(1)任意角的定义角可以看成平面内一条射线所成的图形.绕着端点从一个位置旋转到另一个位置(2)按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；一条射线没有作任何旋转形成的角叫做零角.(3
8、)当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，就称这个角是第几象限角.(4)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成角的集合是{β
9、β=k·360°+α,k∈Z}.3.任意角的三角函数设α是一个任意角，α的终边上任意一点P的坐标是(x,y),它与原点的距离为r(r=),那么sinα=，cosα=,tanα=(x≠0).（2）·360°+30°＜＜·360°+60°（k∈Z）①当k=3n（n∈Z时）,n·360°+30°＜＜n·360°+60°（n∈Z）,则是第一象限角;②当k=
10、3n+1（n∈Z）时，n·360°+150°＜＜n·360°+180°（n∈Z）,则是第二象限角；③当k=3n+2（n∈Z）时，n·360°+270°＜＜n·360°+300°（n∈Z）,则是第四象限角.综合①、②、③可知，是第一、第二或第四象限角.（3）2k·360°+180°＜2α＜2k·360°+360°（k∈Z）.故2α是第三、第四象限角或是终边落在y轴的负半轴上.举一反三1.设θ为第三象限角，试判断的符号.学后反思知道α所在的象限，则,，…所在的象限也可由象限等分法得到，下面以为例说明.如图所示，将每一个
11、象限二等分（若是则三等分，……，）从x轴正向起按逆时针方向在各等分区域标上数字1，2，3，4，1，2，3，4；若α是第一象限角，则在标有数字1的区域内;若α是第二象限角，则在标有数字2的区域内，以此类推，则很容易确定所在的象限.解析:∵θ为第三象限角，∴2kπ+π＜θ＜2kπ+(k∈Z),kπ+＜＜kπ+(k∈Z).当k=2n(n∈Z)时，2nπ+＜＜2nπ+（n∈Z）,此时在第二象限，∴sin＞0,cos＜0,∴＜0；当k=2n+1(n∈Z)时，(2n+1)π+＜＜(2n+1)π+(n∈Z),即2nπ+＜＜2nπ
12、+(n∈Z),此时在第四象限，∴sin＜0,cos＞0,∴＜0.综上可知:＜0.题型二扇形弧长、面积公式的应用【例2】一个扇形的周长为20cm,当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求出这个扇形的最大面积.分析运用扇形的面积公式和弧长公式建立函数关系，运用函数的性质来解决最值问题.学后反思求扇形最值的一般方法是根据扇形的面积公式，将其转化为关于半径（或圆心角）的函数表达式，进而求解.除此之外，也可直接设出两个参数，利用基本不等式求最值.解设扇形的半径为r，则弧长为l=20-2r,于是扇形的面积：S=
13、(20-2r)r=-+25.当r=5时，l=10，α==2(弧度),S取到最大值，此时最大值为25.故当扇形的圆心角α=2弧度时，这个扇形的面积最大，最大面积是25.举一反三2.已知一扇形的圆心角是α,所在圆的半径为r.（1）若α=60°，r=10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积;(2)若扇形的周长是一定值C（C＞0），当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？解析：（1）设弧长为l，弓形面积为，∵α=60°=,r=10,∴l=π(cm),=-S△=×π×10-××sin=50().扇形面积为(2)方法一：∵扇形周
14、长C=2r+l=2r+αr,∴r=,∴=∴当且仅当α=,即α=2(α=-2舍去)时，扇形面积有最大值.方法二：由已知2r+l=C,∴r=(l＜C),∴S==∴当l=时,,此时α=∴当扇形圆心角为2弧度时，扇形面积有最大值.题型三利用三角函数的定义求三角函数值【例3】(12分)已知角α的终边经过点P（-4a,3a）(a≠0),求sinα、cosα、tanα的值.分析根据任意角三角函数的定义，应首先求出点P到原点的距离r，由于含有参数a,要注意分类讨论.解r==5
15、a
16、……………………………………2′若a＞0，r=5a
17、,α角在第二象限，sinα=cosα=tanα=；………………….6′若a＜0,r=-5a,α角在第四象限，………………………….8′sinα=,cosα=,tanα=………………………12′学后反思（1）当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际及解题的需要对参数进行分类讨论.（2）熟记几组常用的勾股数组，如(3,4,5),(5,12,13)
