最新重积分的应用幻灯片.ppt

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1、重积分的应用一、主要内容(一)几何应用立体体积的计算曲顶柱体的体积由二重积分的几何意义知，以曲面zf(x,y)为顶，以xOy面上的闭区域D为底的曲顶柱体的体积为Vf(x,y)dσ.D空间立体的体积占有空间有界域Ω的立体的体积为Vdv.Ω2.曲面的面积设光滑曲面S:zf(x,y),(x,y)Dxy,A1fx2(x,y)fy2(x,y)dσ,Dxydxdy.A1(z)2(z)2xyDxy即dA1fx2(x,y)fy2(x,y)dσ,称为面积元素故有曲面面积公式2.质心坐标的计算设物

2、体占有空间域Ω,有连续密度函数μ(x,y,z),则该物体的质心坐标为μ(x,y,z)dxdydzΩxμ(x,y,z)dxdydzxΩ.μ(x,y,z)dxdydzΩyμ(x,y,z)dxdydzyΩ,zμ(x,y,z)dxdydzzΩ.μ(x,y,z)dxdydzΩ当μ(x,y,z)常数时,可得形心坐标：Ωx其中Vdxdydz为Ω的体积.ΩΩzdxdydz,1V1VzΩydxdydz,1Vxdxdydz,y若物体为占有xOy面上区域D的平面薄片,其面密度为

3、μ(x,y),则它的质心坐标为μ(x,y)dxdyDxμ(x,y)dxdyMMxDyMMx—对x轴的静力矩My—对y轴的静力矩yDMxμ(x,y)dxdyDyμ(x,y)dxdyDxdxdy,1Ax其中A为D的面积.μ常数时,可得薄片的形心坐标:Dydxdy,1Ay3.转动惯量的计算IO(x2y2)μ(x,y)dxdy.DxDyO(x,y)如果物体是平面薄片,面密度为μ(x,y),(x,y)D,则转动惯量的表达式是二重积分:Ixy2μ(x,y)dxdy,DIyx2μ(x,

4、y)dxdy,D若物体占有空间区域Ω,有连续分布的密度函数μ(x,y,z).物体对z轴的转动惯量为Iz(x2y2)(x,y,z)dxdydz,Ω对x轴的转动惯量为Ix(y2z2)μ(x,y,z)dxdydz,Ω对y轴的转动惯量为Iy(x2z2)μ(x,y,z)dxdydz,Ω对原点的转动惯量为IO(x2y2z2)μ(x,y,z)dxdydz.Ω设物体占有空间区域Ω,利用元素法,连续，求物体对位于原点的单位质量质点的引力F(Fx,Fy,Fz).引力元素dF在三坐标轴上的投影分别为dvzy

5、xrOdFrx2y2z2G为引力常数r3dFyGμ(x,y,z)ydv,3dv,rμ(x,y,z)xdFxG其密度函数μ(x,y,z)4.引力的计算ΩΩFyGμ(x,y,z)ydv,r3FzGμ(x,y,z)zdv.Ωr3r3在Ω上积分即得各引力分量:FxGμ(x,y,z)xdv,r3dFzGμ(x,y,z)zdv,Dr3DFyGμ(x,y)ydσ.r3对xOy面上的平面薄片D,设其密度函数μ(x,y)连续，则它对原点处的单位质量质点的引力为F(Fx,Fyz),其中FxGμ(x,y

6、)xdσ,rx2y2G为引力常数用重积分解决问题的方法：用微元分析法(元素法)从重积分定义出发建立积分式解题要点：画出积分域、选择坐标系、确定积分序、定出积分限、计算要简便二、典型例题解利用对称性，只要计算第一卦限部分的体积再八倍即可.设圆柱的底半径为R，两个圆柱面的方程为x2y2R2,x2z2R2,例1求两个底圆半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积.立体在第一卦限的部分可看作是一个曲顶柱体.它的底为考虑被积函数的特点，选取直角坐标计算，并适当选取积分次序D81V8VR00R2x2R2x2dy8dx

7、R0(R2x2)dx8yR2x2RyORxDD:0yR2x2,0xR,于是R2x2,R2x2dσ它的顶为柱面z1633R.故曲面在xOy面上的投影域为Dxy:x2y2a2,x2y2所截下部分的面积.x2y2a2,例2求曲面azx2y2被z2a解1a(x2y2)zazx2y22axyzz2ax2y2Oxyz2ax2y2由两曲面方程消去z,得Da因此Dxy1z2z2dxdyxyAaadθ0a22π04ρ2ρdρa2y2)dxdy14(x2Dxy

8、π62(551)a.采用极坐标计算1a(x2y2):zazx2y22axyzz2ax2y2OxyDa例3Dyydxdy1A3πD1ρ2sinθdρdθρdρ4sinθ2sinθ2薄片的质心.π013πsinθd