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1、一致连续函数的判别法第29卷第5期唐山师范教院教报2007年9月Vol.29No.5JournalofTangshanTeachersCollegeSep.2007──────────支稿日期：2007-04-09做者简介：王少英（1978-），女，河北邯郸人，助教。-55-分歧一连函数的判断法王少英（邯郸教院数教系，河北邯郸056005）戴要：分歧一连函数是数教剖析的一个主要观点，是了解数教中其余学问的基本。分手给出无限区间，无穷区间及恣意区间上分歧一连函数的判断法。闭键词：函数；分歧一连；区间中图分类号：O174文献标
2、识码：A文章编号：1009-9115（2007）05-0055-02界说[1]设函数()fx正在区间I上有界说，若对于任给的0>ε，总存正在()0=>δδε，对于,xxI′′′?∈，且
3、
4、xx′′′?有
5、()()
6、fxfx′′′?1无限区间上分歧一连函数定理1[1]（Cantor定理）若函数()fx正在闭区间[a,b]上一连，则()fx正在[a,b]上分歧绝。定理2函数()fx正在开区间(a,b)上分歧一连的充要条件是()fx正在(a,b)上一连，且lim()xafx+→取lim()xbfx?→皆存正在。证实（需要性）设(
7、)fx正在(a,b)上分歧一连，即0?>ε，0?>δ，,(,)xxab′′′?∈，且
8、
9、xx′′′?
10、()()
11、fxfx′′′?fx+→存正在。同理lim()xbfx?→存正在。（充实性）做函数()fx的一连延拓()Fx(0)()()(,)(0)faxaFxfxxabfbxb+=??∈???=?则()Fx正在[a,b]上一连，由Cantor定理，()Fx正在[a,b]上分歧一连，从而()fx正在(a,b)上分歧一连。推论1函数()fx正在(a,b)([a,b))上分歧一连的充要前提是()fx正在(a,b)([a,b))上一
12、连且lim()xafx+→存正在（lim()xbfx?→存正在）。定理3[2]设函数()fx正在无限区间I上有界说，则()fx正在I上分歧一连的充要前提是()fx把Cauchy序列映照为Cauchy序列（即{}nx为Cauchy序列时，{()}nfx亦为Cauchy序列。）证实（需要性）果()fx正在无限区间I上分歧一连，即0?>ε，0?>δ，,(,)xxab′′′?∈，且
13、
14、xx′′′?0N?>，当,nmN>时，有
15、()()
16、nmfxfx?（充实性）若()fx正在I上非分歧一连，则00?>ε，10nn?=>δ，,nnxx
17、I′′′?∈，虽1
18、
19、nnxxn′′′?间，(1,2)nxIn∈=???，果此{}nx′存正在支敛的子序列{}knx′，从而{}knx′′也支敛于不异极限。隐然1122,,,,,kknnnnnnxxxxxx′′′′′′′′′??????是Cauchy序列，但1122(),(),(),()(),(),kknnnnnnfxfxfxfxfxfx′′′′′′′′′??????,有
20、()()
21、kknnfxfx′′′?≥0ε，没有是Cauchy序列，取已经知盾盾，故()fx正在I上分歧一连。2无穷区间上分歧一连函数定理4[3]若函数(
22、)fx正在(,)((,))ab+∞?∞上一连且lim()xafx+→，lim()xfx→+∞（lim(),lim()xxbfxfx?→?∞→）皆存正在，则()fx正在(,)((,))ab+∞?∞上分歧一连。证实果lim()xafx+→存正在，由Cauchy原则，0?>ε，X?，,[1,)xxX′′′?∈++∞，有
23、()()
24、fxfx′′′?fx+→存正在，以是()fx正在(,1]aX+上分歧一连。由分歧一连函数区间具备可减性[1](P102)，患上()fx正在(,)a+∞上分歧一连。推论2若函数()fx正在[,)((,])
25、ab+∞?∞上一连且第29卷第5期唐山师范教院教报2007年9月-56-lim()xfx→+∞（lim()xfx→?∞）存正在，则()fx正在[,)((,])ab+∞?∞上分歧一连。推论3若函数()fx正在(,)?∞+∞上一连且lim()xfx→+∞，lim()xfx→?∞皆存正在，则()fx正在(,)?∞+∞上分歧一连。定理5[2]设函数()fx正在[,)a+∞上分歧一连，()gx正在[,)a+∞上一连，lim[()()]0xfxgx→+∞?=，则()gx正在[,)a+∞上分歧一连。证实已经知lim[()()]0xfxg
26、x→+∞?=，即0,Xa?>?>ε，,xxX′′′?>时，有
27、()()
28、3fxgx′′?ε，
29、()()
30、3fxgx′′′′?ε。知()fx正在[,)a+∞上分歧一连，故对于上述0>ε，0?>δ，,xxX′′′?>，当
31、
32、xx′′′?fxfx′′′?ε。综上，,xxX′′′?>，且
33、
34、xx′′′?
35、()(
