2021_2022学年高中数学第2章数列2.2第1课时等差数列的概念及简单的表示学案含解析新人教A版必修5.doc

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1、学习2.2 等差数列第1课时 等差数列的概念及简单的表示学习目标核心素养1.理解等差数列的概念.(难点)2.掌握等差数列的通项公式及应用.(重点、难点)3.掌握等差数列的判定方法.(重点)1.通过学习等差中项及等差数列通项公式的应用,体现了数学运算素养.2.借助等差数列的判断与证明培养学生的逻辑推理素养.1.等差数列的概念(1)文字语言:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.(2)符号语言:an+1-an=d(d为常数,n∈N*).2.等差中项(1)条件:如果a,A,b成

2、等差数列.(2)结论:那么A叫做a与b的等差中项.(3)满足的关系式是a+b=2A.思考:观察所给的两个数之间,插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列:(1)2,4;(2)-1,5;(3)a,b;(4)0,0.[提示]插入的数分别为3,2,,0.3.等差数列的通项公式以a1为首项,d为公差的等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d.思考:教材上推导等差数列的通项公式采用了不完全归纳法,还有其他方法吗?如何操作?-9-/9学习[提示]还可以用累加法,过程如下:∵a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,…an-an-1=d(n≥2),将上述(n-1)个式

3、子相加得an-a1=(n-1)d(n≥2),∴an=a1+(n-1)d(n≥2),当n=1时,a1=a1+(1-1)d,符合上式,∴an=a1+(n-1)d(n∈N*).4.从函数角度认识等差数列{an}若数列{an}是等差数列,首项为a1,公差为d,则an=f(n)=a1+(n-1)d=nd+(a1-d).(1)点(n,an)落在直线y=dx+(a1-d)上;(2)这些点的横坐标每增加1,函数值增加d.思考:由等差数列的通项公式可以看出,要求an,需要哪几个条件?[提示]只要求出等差数列的首项a1和公差d,代入公式an=a1+(n-1)d即可.1.已知等差数列{an}的

4、首项a1=4,公差d=-2,则通项公式an=(  )A.4-2nB.2n-4C.6-2nD.2n-6C[an=a1+(n-1)d=4+(n-1)×(-2)=4-2n+2=6-2n.]2.等差数列-6,-3,0,3,…的公差d=.3[(-3)-(-6)=3,故d=3.]3.下列数列:-9-/9学习①0,0,0,0;②0,1,2,3,4;③1,3,5,7,9;④0,1,2,3,….其中一定是等差数列的有个.3[①②③是等差数列,④只能说明前4项成等差数列.]4.lg(+)与lg(-)的等差中项是.0 [lg(+)与lg(-)的等差中项为:===0.]等差中项【例1】 在-1与

5、7之间顺次插入三个数a,b,c使这五个数成等差数列,求此数列.[解]∵-1,a,b,c,7成等差数列,∴b是-1与7的等差中项,∴b==3.又a是-1与3的等差中项,∴a==1.又c是3与7的等差中项,∴c==5.-9-/9学习∴该数列为-1,1,3,5,7.三数a,b,c成等差数列的条件是b=(或2b=a+c),可用来解决等差数列的判定或有关等差中项的计算问题.如若证{an}为等差数列,可证2an+1=an+an+2(n∈N*).1.已知数列{an}满足an-1+an+1=2an(n≥2),且a2=5,a5=13,则a8=.21 [由an-1+an+1=2an(n≥2)

6、知,数列{an}是等差数列,∴a2,a5,a8成等差数列.∴a2+a8=2a5,∴a8=2a5-a2=2×13-5=21.]等差数列的通项公式及其应用【例2】 (1)在等差数列{an}中,已知a4=7,a10=25,求通项公式an;(2)已知数列{an}是等差数列,a5=-1,a8=2,求a1与d.思路探究:设出基本量a1,d,利用方程组的思想求解,当然也可以利用等差数列的一般形式an=am+(n-m)d求解.[解](1)∵a4=7,a10=25,则得∴an=-2+(n-1)×3=3n-5,∴通项公式an=3n-5(n∈N*).(2)∵a5=-1,a8=2,∴解得-9-/

7、9学习1.应用等差数列的通项公式求a1和d,运用了方程的思想.一般地,可由am=a,an=b,得求出a1和d,从而确定通项公式.2.若已知等差数列中的任意两项am,an,求通项公式或其他项时,则运用am=an+(m-n)d较为简捷.2.(1)求等差数列8,5,2,…的第20项;(2)判断-401是不是等差数列-5,-9,-13,…的项,如果是,是第几项?[解](1)由a1=8,d=5-8=-3,n=20,得a20=8+(20-1)×(-3)=-49.(2)由a1=-5,d=-9-(-5)=-4,得这个数列的通项公式为an=-5

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