资源描述：
《最新第3章-频谱分析教学讲义PPT课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第3章-频谱分析3.1复指数函数的正交性与傅立叶级数3.1.1复指数函数的正交在通信系统中广泛应用正交信号的知识。如果定义在(t1,t2)区间的两个函数f1(t)和f2(t),满足(3-1)则称f1(t)和f2(t)在区间(t1,t2)内正交。三角函数集{1,cosω1t,cos2ω1t,…,cosmω1,…,sinω1t,sin2ω1t,…,sinnω1t,…}在区间(t0,t0+T)组成正交函数集。以正弦函数为基本信号分析工程上常用的周期和非周期信号的一些基本特性,以及信号在系统中的传输问题。由于(3-2)故也可把虚指数函数ejωt作为基本信号,将任意周期信号和非周期信号分解
2、为一系列虚指数函数的离散和或连续和。利用信号的正弦分解思想,系统的响应则可表示为不同频率正弦分量产生响应的叠加。(3-3)由高等数学可知,傅立叶系数为由此可以得出,当f(t)给定后,a0、an和bn就可以确定,因而f(t)的傅立叶级数展开式就可以写出。由于ancosnω1t+bnsinnω1t=Ancos(nω1t+jn)式中,,故傅立叶级数又可以写为(3-5)【例3-1】如图3-2所示的周期矩形波,求其傅立叶级数。图3-2例3-1图解由于这里f(t)是奇函数,故有所以,f(t)的傅立叶级数为2.周期信号的对称性与傅立叶系数的关系要把已知周期信号f(t)展开为傅立叶级数,如果f(
3、t)为实函数,且它的波形满足某种对称性,则在其傅立叶级数中有些项将不出现,留下的各项系数表示式也变得比较简单。周期信号的对称关系主要有两种:一种是整个周期相对于纵坐标轴的对称关系,这取决于周期信号是偶函数还是奇函数,也就是展开式中是否含有正弦项或余弦项;另一种是整个周期前后的对称关系,这将决定傅立叶级数展开式中是否含有偶次项或奇次项。下面简单说明函数的对称性与傅立叶系数的关系。(1)偶函数。若周期信号f(t)波形相对于纵坐标轴是对称的,即满足:f(t)=f(－t)则f(t)是偶函数,其傅立叶级数展开式中只含有直流分量和余弦分量,没有正弦分量,即(n=0,1,2,3,…)(2)奇函
4、数。若周期信号f(t)波形相对于纵坐标轴是反对称的,即满足f(t)=－f(－t)则f(t)是奇函数,其傅立叶级数展开式中只含有正弦分量,没有余弦分量,即(n=0,1,2,3,…)(3)奇谐函数。若周期信号f(t)波形沿时间轴平移半个周期后与原波形相对于时间轴镜像对称,即满足则f(t)称为奇谐函数或半波对称函数。这类函数的傅立叶级数展开式中只含有正弦和余弦项的奇次谐波分量,不含偶次项。(4)偶谐函数。若周期信号f(t)波形沿时间轴平移半个周期后与原波形完全重叠,即满足则f(t)称为偶谐函数或半周期重叠函数。这类函数的傅立叶级数展开式中只含有正弦和余弦项的偶次谐波分量,不含奇次项。3
5、.1.3傅立叶级数的指数形式及物理意义三角函数形式的傅立叶级数含义比较明确,但运算很不方便,因此经常采用指数形式的傅立叶级数。将欧拉公式代入式(3-5),可得(3-6)令(3-7)由傅立叶系数可知an是n的偶函数,bn是n的奇函数,则(3-8)将式(3-7)和式(3-8)代入式(3-6),得(3-9)令F(0)=a0,并且式(3-9)又可写为(3-10)式(3-10)称为周期信号f(t)的指数形式傅立叶级数展开式,其中F(jnω1)为傅立叶系数,简写为Fn,又称为频谱函数。由于Fn为复数,所以式(3-10)又称为复系数形式傅立叶级数展开式。 傅立叶系数Fn为(3-11)【例3
6、-2】将图3-3所示的矩形脉冲信号f(t)展开为指数形式的傅立叶级数。图3-3例3-2图解由式(3-11)可得故f(t)展开为指数形式的傅立叶级数为3.2周期信号的频谱及特点1.单边频谱若周期信号f(t)的傅立叶级数展开式为(3-12)则对应的振幅频谱An和相位频谱jn称为单边频谱。【例3-3】求图3-4所示周期矩形信号f(t)的单边频谱。图3-4例3-3图解由f(t)波形可知,f(t)为偶函数,其傅立叶系数故因此即a0=0.5a1=0.45a2≈0.32a3=0.15a4=0a5≈0.09a6≈0.106单边振幅频谱如图3-5所示。图3-5例3-3单边振幅频谱2.双边频谱若周期
7、信号f(t)的傅立叶级数展开式为则
8、Fn
9、与nω所描述的振幅频谱以及Fn的相位θn与nω所描述的相位频谱称为双边频谱。【例3-4】画出图3-4所示矩形周期信号f(t)的双边频谱图形。解由 得:F0=0.25F±1=0.225F±2=0.159F±3=0.075F±4=0F±5=－0.045F±6=0.053F±7=－…所以f(t)的双边频谱如图3-6所示。图3-6例3-3双边频谱图形3.周期信号频谱的特点(1)离散性。谱线沿频率轴离散分布,这种谱线称
