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1、个人收集整理勿做商业用途概率论概要（2007－12－22)一事件与概率1随机试验，随机事件及其运算。在一定条件下,其结果不能预先确定而可以重复进行的试验称为随机试验。随机试验的每一个可能结果称为基本事件或样本点,全体可能结果称为样本空间。随机事件A时由若干个基本事件组成，即样本空间的子集：。而全空间称为必然事件,空集称为不可能事件.事件A发生的可能性的度量称为这个事件的概率，记为。事件的关系与运算以下引进事件的关系和运算。既然事件是集合,故事件也遵守集合运算的规则.以下设为事件。“事件在某次试验中发生"，用集合论的语言就是，其中为这次试验的结果.包含关系意味：发生，必发
2、生.即。并意味：发生或发生。即。交意味：，同时发生。即.差意味：发生但不发生。即.对立事件，即不发生.若,称,互不相容，即，不可能同时发生。这时可记.（一般记,不论是否相容)运算规律交换律。结合律。分配律.对偶律。对偶律可以推广到有限或无限个事件的情形,例如，对事件有,上面的其他运算规律也有类似的推广.2事件与概率的数学定义,概率空间的概念（柯尔莫哥洛夫公理体系）一般来讲，我们所关心的事件随着目的和场合的不同而不同，就是在同一样本空间中，各种各样的事件族都可能成为被考察的对象.在概率论中，事件族要求满足如下公理:公理1.11）;个人收集整理勿做商业用途2)若,则；3)若
3、，则；同时满足三个公理的事件族称为代数.我们还容易知道有如下性质:4）（因为）；5）若则(由对偶律）。确定好我们关心的事件族代数后,再去考虑中事件发生的概率（或称概率测度）.事件发生的概率记为(直观上，表示事件发生的可能性）,要求它满足如下公理:公理1.21）；2）=1；3)完全可加性：若,且互不相容,则由公理1.2容易推出4)(在3）中令，即可)；5)有限可加性：若，且互不相容,则(在3）中令，即可）三者的结合物称为概率空间。以上是柯尔莫哥洛夫提出的概率空间的公理体系。柯尔莫哥洛夫公理体系同现代的几何基础公理体系不去界说诸如点,线，面这些几何基本元素一样，着眼于规定事
4、件与事件的概率的最基本的性质与关系,而不去解释它们的现实背景与含义；将概率论建立在坚实的数学基础之上.3概率的其他性质1）加法公式2）连续性.对任意单调上升或单调下降的事件列有个人收集整理勿做商业用途其中（上升情形）或(下降情形)。4条件概率。若,则称为已知A发生的条件下事件B的条件概率.条件概率的性质：1）函数满足概率的三条公理,称三元组为条件概率空间.2）乘法公式3）全概公式与逆概公式若事件不相容且它们至少有一个发生（即，则5独立性称事件独立，若.称事件独立，若对任意和有6独立试验序列设一次试验中事件A发生的概率为（即）作n次独立重复试验，事件A发生的次数记为X,则
5、，二随机变量及其分布个人收集整理勿做商业用途1随机变量及其分布函数设为概率空间，为定义在其上的实函数,如果对任一实数，有（*）则称为随机变量。（初学者仅需理解随机变量为试验结果的函数，而“可测性"条件(*)是数学上的要求,不必深论）.其次令,(可简记为)称为随机变量的分布函数.以后事件常常简记为。为计算与随机变量有关的各个事件的概率，我们不必深入到较为抽象的概率空间中去,而可通过具体的实变元实函数进行。因此，数学分析一切工具都可运用，这就是引进分布函数的好处.分布函数具有如下性质1)单调不减：如果，则.2)右连续：.3).4)。且，，2离散型随机变量离散型随机变量X是仅
6、可能取有限个或者可列个值的随机变量.设X可能取的值为：。它取各个值的概率,即概率分布为:。还可以列为概率分布表:个人收集整理勿做商业用途显然有1）;2）。又离散型随机变量X的分布函数显然为=,.它是阶梯函数.3连续型随机变量如果存在非负可积函数,使对,都有（1）我们称这样的随机变量X为（绝对)连续型随机变量；称p（x)为它的概率密度函数，简称为密度.显然具有如下性质：1）p（x）≥0−∞〈x〈∞2）又随机变量X落在区间的概率为显然X落于区间或的概率与落在区间的概率一样，即P（a〈x≤b）=P（a〈x7、0,P（X=a）=0。(3)对于离散型随机变量，(2）（3）一般不成立（例如在二点分布情形）。随机变量X的分布函数显然为(4）而一般地有（5）4随机向量与联合分布在概率空间中，有时我们需要同时考察两个或两个以上的随机变量，并研究它们之间的关系.整体个人收集整理勿做商业用途可看成是定义于样本空间,取值于n维欧氏空间的函数；我们称X(ω）(简写为X）为n维随机向量或值随机变量。设为任意实数，显然为事件（即F中的元）；它的概率记为或简写为，并称这个n元函数为随机变量的联合分布函数（或随机向量X的分布函数）。即（1)以下较详细地讨论二维情形(其中
