高中数学论文图形计算器应用能力测试活动学生利用图形计算器解决需要分类的数形结合问题.doc

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1、辽宁省沈阳市第十五中学2013年高中数学论文图形计算器应用能力测试活动学生利用图形计算器解决需要分类的数形结合问题《普通高中数学课程标准（实验）》明确提出,要“尽可能使用科学型计算器、各种数学教育技术平台,加强数学教学与信息技术的结合，鼓励学生运用计算机、计算器等进行探索和发现。”图形计算器虽然使用还不够广泛，但它在代数运算、编程、数据统计、动态几何等方面都有较强大的功能,并且便于携带，可以随时随地使用，因此其优势比较明显。在查看资料的过程中遇到了这样一个问题：“分别就a=2，a=和a=画出函数y=ax，y=logax的图象，并求方程ax=logax解的个数．”一、我们的主观意识常常

2、会引导我们犯错在解决需要进行分类讨论的数形结合问题时,我们常常以主观意识即通过以下步骤通过绘制图像进行判断：使用“计算·矩阵”功能模块，将一个大于1的数（这里设置为3)赋值给参数A。使用“图形"功能模块,绘制函数Y1=Ax及函数Y2=logAX。由此图可知，当a>1时，方程ax=logax无解；用同样的方法，作出0〈a<1时y=ax与y=logax的图象(我们一般会选择易于计算的0.5）。因它们只有一个公共点，所以我们通常会得出当0

3、论就真的正确么？下面的操作会让我们颠覆这种看法。二、如果再多进行一步，结果将会让人吃惊在这里,我们将0。1这个在（0，1）区间中的实数赋值给参数A，这时再使用“图形”功能模块绘制图像显然，在改变参数后,我们发现这两个函数的图像出现了一个交点，此时，点击键盘上的F5，选择“交点”功能即可得到交点坐标。如果我们就这样想要得出新的结论的话,先不要着急,当我们把（1，+∞）上的无理数赋值给参数A时,我们会发现之前得出的结论又一次被推翻。使用之前的方法在做出图像后求出交点坐标，这一次,这两个函数的图像出现了两个交点如果这样就想要提出新的结论，还是为时过早,如果我们将0.03这个（0，1）上的有

4、理数赋值给参数A，就会得到这样的图像。这时，我们会发现这两个函数的图像出现了三个交点。为了保险起见,我们使用“动态图”功能模块来验证（由于这款计算器不支持步长为0.01的情况,我们只能验证步长为0.1)。当曲线y=ax与y=logax相切时，曲线y=ax与y=logax有且只有一个公共点。由此可知，当a〉1时，方程ax=logax的解可能有2个、1个或0个；当0〈a〈1时，方程ax=logax的解可能有3个或1个，通过以上操作，我们可以在a的取值不同的情况下，方程ax=logax解的个数有下列多种不同情况:0个、1个、2个、3个.三、在现象中理解这个问题的理论依据通过刚才的操作，我们

5、通过函数图象得出了方程ax=logax（a>0,且a≠1)解的个数.如果在没有图形计算器的场合我们又该如何解决这个问题呢？对于方程ax=logaxⅠ.在a>1时先求y=ax的图像与y=logax的图像相切时a的值。设曲线y=ax与y=logax相切于点P(x0，x0），从我们之前的学习中，我们可以得知函数y=ax与y=logax互为反函数，所以当这两个函数图象相切时，切线的斜率为1。从而列得方程，∴∴．即e=∴a=此时x0=e．以上说明,当a=时,两条曲线y=ax与y=logax相切于点P（e,e)．因此有以下结论:ⅰ。1〈a<时，方程有且仅有两个解ⅱ.当a=时，方程有且仅有一个解ⅲ

6、.当a〉时，方程无解Ⅱ．当0〈a<1时先求y=ax与y=logax相切时a的值.设曲线y=ax与y=logax相切于点P，由对称性知，点P在直线y=x上,设P(x0,x0)。由于曲线y=logax（或y=ax)在点P处切线的斜率为-1，列得方程,即∴即则a=此时,x0=.以上说明，当a=时，两条曲线y=ax与y=logax相切于点P（，）。得出：ⅰ。0

7、综上所述,当aÎ（0,）时，方程ax=logax有且仅有三解；当a=时，方程ax=logax有且仅有一解；当aÎ(，1)时,方程ax=logax有且仅有一解；当aÎ（1,）时，方程ax=logax有且仅有两解；当a=时,方程ax=logax有且仅有一解；当aÎ（，+∞）时，方程ax=logax无解。四、感悟与反思通过这道题,我们可以明白自己平常在做涉及到分类讨论的数形结合问题时，考虑的总是不那么全面，我们的主观意识让我们无法突破惯有解题方式的桎梏，在开篇时