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1、优选专题08含参函数的单调性研究(解析版)“含参数函数的单调性讨论问题”是近年来高考考查的一个常考内容,也是我们高考复习的重点．从这几年来的高考试题来看,含参数函数的单调性讨论常常出现在研究函数的单调性,极值以及最值中,因此在高考复习中更应引起我们的重视．含参函数的单调性研究的易错点易错点1：忽略函数的定义,往往默认定义域为R；研究函数的有关问题时,一定要先求确定函数的定义域；易错点2：讨论参数时,漏掉分段点；易错点3：不连续的同类单调区间不要合并；易错点4：讨论的零点时,忽视增根的情况；导函数正负的相应区
2、间也可以由导函数零点来分界,但要注意其定义域和连续性．即先求出的零点,再其分区间然后定在相应区间内的符号．一般先讨论无解情况,再讨论解过程产生增根的情况(即解方程变形中诸如平方,去分母,去对数符号等把自变量xX围扩大而出现有根,但根实际上不在定义域内的),即根据零点个数从少到多,相应原函数单调区间个数从少到多讨论,最后区间(最好结合导函数的图象)确定相应单调性．12/12优选易错点5：导函数是二次函数或分子是二次函数时,忽视开口方向当二次函数开口定时对其正负进行讨论的,要根据判别式讨论：无根的或两根相等的导
3、函数只有一种符号,相应原函数是单调的较简单应先讨论；然后再讨论有两不等根的,结合导函数图象列变化表,注意用根的符号代替复杂的式,最后结论才写回．个别点处导数为0不影响单调性．题组一1.[贵港12月]讨论的单调性.【解析】的定义域为,．若,则,所以在单调递增．若,则当时,当,,所以在单调递减,在单调递增．2．(2012)设函数．(Ⅰ)求的单调区间；【解析】(Ⅰ)的定义域为,．12/12优选若,则,所以在单调递增．若,则当时,当,,所以在单调递减,在单调递增．3．(2015)设函数．(Ⅰ)证明：在单调递减,在单
4、调递增；【解析】法一：．若,则当时,,；当时,,．若,则当时,,；当时,,．所以,在单调递减,在单调递增．法二：12/12优选所以,在单调递减,在单调递增题组二4.讨论的单调性．【解析】的定义域为(它与同号)I）当时,恒成立(此时没有意义)此时在为单调增函数,即的增区间为II）当时,恒成立,(此时不在定义域内,没有意义)此时在为单调增函数,即的增区间为III)当时,令12/12优选于是,当x变化时,的变化情况如下表：(结合g(x)图象定号)x+0-增↗减↘所以,此时在为单调增函数,在是单调减函数,即的增区间
5、为;的减区间为．5．(2018)已知函数．(1)讨论的单调性；【解析】(1)的定义域为,．（i）若,则,当且仅当,时,12/12优选所以在单调递减．(ii)若,令得,或．当时,；当时,．所以在,单调递减,在单调递增．6.(2020某某1月)]讨论函数的单调性.【解析】(1)的定义域为,．(i)若,则,所以在单调递减．(ii)若,则,在单调递增．(iii)若,令得当时,．12/12优选当时,所以在单调递减,在单调递增．题组三7．(2017)已知函数,且．(1)求；【解析】(1)的定义域为．设,则,等价于．因为
6、,,故,而,,得．若,则．当时,,单调递减；当时,,单调递增．所以是的极小值点,故．综上,．12/12优选8．(2017)已知函数．(1)若,求的值；【解析】(1)的定义域为．①若,因为,所以不满足题意；②若,由知,当时,；当时,,所以在单调递减,在单调递增,故是在的唯一最小值点．由于,所以当且仅当a=1时,．故a=1．9．(2016)已知函数有两个零点．(I)求a的取值X围；【解析】(Ⅰ)．(i)设,则,只有一个零点．(ii)设,则当时,；当时,．12/12优选所以在上单调递减,在上单调递增．又,,取满足
7、且,则,故存在两个零点．(iii)设,由得或．若,则,故当时,,因此在上单调递增．又当时,,所以不存在两个零点．若,则,故当时,；当时,．因此在上单调递减,在上单调递增．又当时,,所以不存在两个零点．综上,的取值X围为．题组四10.求的单调区间．【解析】的定义域为R,12/12优选I)当时,在R上单调递减,减区间为R,无增区间．II)当时,是开口向上的二次函数,令,因此可知(结合的图象)i)当时,此时,的增区间为；的减区间为ii)当时,此时,的增区间为；的减区间为．11.(某某市摸底)求的单调区间．12/1
8、2优选【解析】的定义域为R,(I)I当时,,在R上单调递增,增区间为R,无减区间．(II)当时,是开口向上的二次函数,令,因此可知(结合的图象)(i)当时,此时,的增区间为；的减区间为(ii)当时,此时,的增区间为；的减区间为．12/12优选12．(2019)已知函数,讨论的单调性；【解析】(1)．令,得x=0或.若a>0,则当时,；当时,．故在单调递增,在单调递减；若a=0,在单调递增；若a<0,则当时,；当时
