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1、矢量分析2014-1场论的教学内容包括：方向导数、梯度、散度、旋度（要求掌握这4种计算）、哈密顿算子的基本概念与简单推导。2第一节矢性函数自由矢量二矢量相等的条件是它们的模和方 向都相同(即与起点无关)1.基本概念矢量一个有大小和方向的物理量称为矢量常矢模和方向都不会改变的矢量标量一个仅用大小就能够完整描述的物理量称为标量变矢模和方向或其中之一会改变的矢量3（2）标量乘矢量（3）矢量的标积（点积）矢量的标积符合交换律78（4）矢量的矢积（叉积）矢量的矢积的举例：力矩9（5）矢量的混合运算10设有数性变量t和变矢A，如果对于t在某个范围G内的每一个数值，A都以一个确定的矢量和
2、它对应，则称A为数性变量t的矢性函数，记作2矢性函数的定义并称G为函数A的定义域。11矢性函数用坐标分量表示xzylM123.矢端曲线定义当t变化时，矢量A(t)的终点M绘出的曲线l，叫做矢性函数A(t)的矢端曲线（矢性函数A(t)的图形）。A=A(t)orA=Aｘ(t)i＋Aｙ(t)j+Aｚ(t)k为此曲线的矢量方程。13矢性函数A(t)的起点 取坐标原点，A(t)实际上成为 其终点M(x,y,z)的矢径。矢径起点在坐标原点o，终点为M的矢量叫做点M的矢径，用r表示A(t)的三个坐标相应于其终点M的三个坐标就是曲线l的参数方程rxzylM14例：已知圆柱螺旋线的参数方程为
3、x=acosθ;y=asinθ;z=bθ矢量方程为r=acosθi+asinθj+bθk3.矢性函数的极限和连续性(自学)15第二节矢性函数的导数和微分1.矢性函数的导数导矢的几何意义导矢不为零时，在点M处的切线上，其方向恒指向对应t值增大的方向162.矢性函数的微分的几何意义为一个切向的单位矢量3.矢性函数的导数公式17场场的概念在自然界中，许多问题是定义在确定空间区域上的，在该区域上每一点都有确定的量与之对应，我们称在该区域上定义了一个场。标量场空间某一区域定义一个标量函数,其值随空间坐标的变化而变化，有时还可随时间变化。则称该区域存在一标量场。如温度场,电位场,高度场
4、等。矢量场空间某一区域定义一个矢量函数,其大小和方向随空间坐标的变化而变化，有时还可随时间变化。则称该区域存在一矢量场。如速度场,电场、磁场等.18场分布的形象描述：等值线（面）和场线（有向曲线族）19形象描绘场分布的工具--场线标量场--等值线(面).其方程为等值线例：数量场空间区域是以原点为中心，半径为R的球形区域内。通过M（0，0，R/2）的等值面等值面为或20矢量场--矢量线其方程为三维场在直角坐标下:二维场矢量线设M（x,y,z）为矢量线上任一点，设其矢径为则微分场矢量为矢量线：在矢量线上的每一点处，矢量线都与该点处的场矢量A相切。矢量线微分方程21例：电场其中，
5、为介电常数，为M点的矢径，求电场强度E的矢量线。[解]：矢量场函数力线微分方程：点电荷Q的电力线分布22哈密顿算子具有矢量和微分双重性质23运算规则24标量场的方向导数和梯度标量场的方向导数方向导数的定义25设M0是标量场u=u(M)中的一个已知点，从M0出发沿某一方向引一条射线l,在l上M0的邻近取一点M，MM0=ρ，如图所示。若当M趋于M0时(即ρ趋于零时)，的极限存在，则称此极限为函数u(M)在点M0处沿l方向的方向导数，记为26若函数u=u(x,y,z)在点M0(x0,y0,z0)处可微，cosα、cosβ、cosγ为l方向的方向余弦，则函数u在点M0处沿l方向的方
6、向导数必定存在，且为证明：M点的坐标为M(x0+Δx,y0+Δy,z0+Δz)，由于函数u在M0处可微，故27两边除以ρ，可得当ρ趋于零时对上式取极限，可得28解在M处L的方向余弦为29定理2若在有向曲线C上取定一点M0作为计算弧长s的起点，并以C的正向作为s增大的方向；M为C上的一点，在点M处沿C的正向作一与C相切的射线l，则在M处，当函数u可微，曲线C光滑时，函数沿l方向的方向导数就等于函数对s的全导数，即有M0MM1lC证明略。详见课本P32.30M0MM1lC定义2从M点出发沿C的正向取一点M1，记弧线长，若当时，比式的极限存在，则称此极限为函数u在点M处沿曲线C的
7、方向导数，记作，即31定理3若在点M处函数u可微，曲线C光滑，有函数u在点M处沿曲线C（正向）的方向导数与函数u在点M处沿切线方向（指向C的正向一侧）的方向导数相等。推论：32解在M处其方向余弦为332.标量场的梯度标量场u(x,y,z)在l方向上的方向导数为在直角坐标系中，令34矢量l°是l方向的单位矢量，矢量G是在给定点处的一常矢量。由上式显然可见，当l与G的方向一致时，即cos(G,l°)=1时，标量场在点M处的方向导数最大，也就是说沿矢量G方向的方向导数最大，此最大值为35在标量场u(M)中的一点M处，其方
