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1、进入夏天，少不了一个热字当头，电扇空调陆续登场，每逢此时，总会想起那一把蒲扇。蒲扇，是记忆中的农村，夏季经常用的一件物品。 记忆中的故乡，每逢进入夏天，集市上最常见的便是蒲扇、凉席，不论男女老少，个个手持一把，忽闪忽闪个不停，嘴里叨叨着“怎么这么热”，于是三五成群，聚在大树下，或站着，或随即坐在石头上，手持那把扇子，边唠嗑边乘凉。孩子们却在周围跑跑跳跳，热得满头大汗，不时听到“强子，别跑了，快来我给你扇扇”。孩子们才不听这一套，跑个没完，直到累气喘吁吁，这才一跑一踮地围过了，这时母亲总是，好似生气的样子，边扇边训，“你看热的，跑什么？”此时这把蒲扇，是那么凉快，那么的温馨幸福，有母亲
2、的味道！ 蒲扇是中国传统工艺品，在我国已有三千年多年的历史。取材于棕榈树，制作简单，方便携带，且蒲扇的表面光滑，因而，古人常会在上面作画。古有棕扇、葵扇、蒲扇、蕉扇诸名，实即今日的蒲扇，江浙称之为芭蕉扇。六七十年代，人们最常用的就是这种，似圆非圆，轻巧又便宜的蒲扇。 蒲扇流传至今，我的记忆中，它跨越了半个世纪，也走过了我们的半个人生的轨迹，携带着特有的念想，一年年，一天天，流向长长的时间隧道，袅欧美韩国国货护肤彩妆精油药妆礼品..747.5EulerandHamiltonPathKonigsberg(哥尼斯堡)七桥问题问题：能否从河岸或小岛出发，通过每一座桥，而且仅仅通过一次回到原
3、地。9/6/20212DerenChen,ZhejiangUniv.Euler(欧拉)1736年对这个问题，给出了否定的回答。将河岸和小岛作为图的顶点，七座桥为边，构成一个无向重图，问题化为图论中简单道路的问题：[定义]欧拉道路（回路）：Ｇ＝（Ｖ，Ｅ），称包含Ｅ中所有边的简单道路为欧拉道路/EulerPath/E道路。包含Ｅ中所有边的简单回路为欧拉回路/EulerCircuit/E回路。9/6/20213DerenChen,ZhejiangUniv.若Ｇ2＝（Ｖ2，Ｅ2）是Ｇ1的关于Ｇ的余图，Ｅ2＝Ｅ－Ｅ1，但Ｖ1∩Ｖ2≠φ，否则Ｇ不连通，设Ｃ∈Ｖ1∩Ｖ2，从Ｃ出发，用上面方法作Ｇ2的
4、简单回路ｐ2回到Ｃ,这能做到。因为作好ｐ1后，留下顶点的次都是偶次。若ｐ1∪ｐ2经过所有边，则欧拉道路是ｐ1走到Ｃ时，先把ｐ2走完，最后走完ｐ1的余下道路。若ｐ1∪ｐ2仍未经过所有边，将ｐ1∪ｐ2视为ｐ1重复上述过程，由于Ｅ边有限，故存在欧拉道路。9/6/20217DerenChen,ZhejiangUniv.例1：（1）顶点的次：A(3),B(2),C(4),D(2),E(6),F(2),G(6),H(2),I(4),J(3）。其中奇次顶点A，J（2）从A出发，走一条道路（A,C,E,A,B,C,D,E,G,J）9/6/20218DerenChen,ZhejiangUniv.（3）Ｇ
5、1＝（Ｖ1，Ｅ1）Ｖ1＝{A，B，C，D，E，G，J}Ｅ1＝{（A，B），（B，C），（A，C），（C，D），（C，E），（D，E），（E，G），（G，J）}Ｇ2＝（Ｖ2，Ｅ2）Ｅ2＝{（E，F），（F，G），（E，J），（G，H），（G，I），（I，J），（H，I）}Ｖ2＝{E，F，G，H，I，J}E∈（Ｖ1Ｖ2）9/6/20219DerenChen,ZhejiangUniv.（4）从E出发回到E的回路（E，F，G，I，J，E），加入到P1中Ｐ1＝（A，C，E，F，G，I，J，E，A，B，C，D，G，J）（5）还有未经过的边，重复上述过程，从G出发，（G，H，I，G），再加入即得
6、欧拉道路。9/6/202110DerenChen,ZhejiangUniv.说明：哥尼斯堡七桥问题，由于四个顶点都是齐次的，不可能有欧拉道路。应用与推广：（1）一笔画问题；（2）如果齐次顶点个数为2K个，此问题是K笔画问题。9/6/202111DerenChen,ZhejiangUniv.例８个顶点均为3次，至少要４笔。9/6/202112DerenChen,ZhejiangUniv.[推论]（欧拉定理）：没有次为０的孤立顶点的无向图存在欧拉回路的充要条件是：(1)图是连通的；(2)图中没有奇次顶点。9/6/202113DerenChen,ZhejiangUniv.定理2（有向图的欧拉
7、定理）：不含出/入次为０的孤立顶点的有向图具有欧拉道路的充要条件是：(1）弱连通；(2)除了可能有２个顶点，一个入次比出次大１，一个出次比入次大１，其余顶点出次等于入次。推论不含出/入次为０的孤立顶点的有向图具有欧拉回路的充要条件是：（1）弱连通；（2）所有顶点出次等于入次。9/6/202114DerenChen,ZhejiangUniv.Hamilton(哈密顿)道路问题：１８５９年发明的一种游戏。在一个实心的正十二面体，20个顶点标上世界著
