最新曲线的曲率ppt课件.ppt

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1、曲线的曲率一、主要内容x00AMByf(x)bxOay(一)弧微分1.弧的概念设yf(x)在(a,b)内有连续导数,其图形为AB,有向弧段M0M的值s.xM设曲线的正向为x增大的方向.若M0为选定的基点,M是有向弧段上任意一点，则可定义显然,s是个代数量,且是x的单调增函数s(x).弧的定义规定为：0有向弧段MM的值s(简称弧s)s>0,s的大小等于弧M0M的长度,当弧M0M的方向与曲线的正方向一致时,相反时,s<0.x0M0AByf(x)bxOayxMΔsKΔ,点M处的曲率:KlimMM

2、(二)平面曲线曲率的概念曲率的定义Δd.Δs0ΔsdsKlim在光滑弧上自点M开始取弧段MM,其长为Δs,对应切线转角为Δ,定义弧段Δs上的平均曲率显然,直线上任意点处的曲率为0.ds设曲线yf(x)二阶可导,设为切线的倾角,dx.yd(arctany)dx.3(1y2)2yKd1y2又ds1y2dx,故曲率计算公式为则有tany,故arctany,从而(三)曲率的计算公式注⎩2若曲线由参数方程⎨yy(t)⎧xx(t)给出,Ky3(

3、1y2)23若曲线方程为x(y),则(1x2)2xK3.3(x2y2)2Kxyxy.则通过计算可得1o当y1时,有曲率近似计算公式Ky.(四)曲率圆与曲率半径yOD(,)RTM(x,y)xCKDMR1,设M为曲线C上任一点,在点M处作曲线的切线和法线,在曲线的凹向一侧法线上取点D使把以D为中心,R为半径的圆叫做曲线在点M处的曲率圆(密切圆),R叫做曲率半径,D叫做曲率中心.在点M处曲率圆与曲线有下列密切关系:(1)有公切线;(2)凹向一致;RK.1

4、设曲线方程为yf(x),且y0,曲线上点M处的曲率半径为3(1y2)2yyO(3)曲率相同.D(,)RTM(x,y)xC⎩⎨⎧(x)2(y)2R2(M(x,y)在曲率圆上)(DMMT)yyx的坐标公式.设点M处的曲率圆方程为()2()2R2,其中,满足方程组下面求曲线上点M处的曲率中心D(,)yOD(,)RTM(x,y)xC,y(1y2)yx.y1y2y当点M(x,y)沿曲线C:yf(x)移动时,相应的曲率

5、中心的轨迹G称为曲线C的渐屈线,曲线C称为曲线G的渐伸线.由此可得曲率中心公式yOD(,)RTM(x,y)xC二、典型例题ΔsRΔΔs0Δs.RKlimΔ1可见:圆的弯曲程度处处相同;圆的半径越小,圆弯曲得愈厉害.ΔΔsMMΔR例1求半径为R的圆上任意点处的曲率.解如图所示,解y2axb,y2a,2a显然,当xb时,K最大.)为抛物线的顶点,4abb24ac又Q(2a,抛物线在顶点处的曲率最大.例2抛物线yax2bxc上哪一点的曲率最大?y3.2a(1

6、y2)2[1(2axb)2]2K3例3求yax3上任一点的曲率半径.解y3ax2,y6ax,yRK231(1y)2(x0)6ax(19a2x4)32x0在该曲线的拐点(0,0)处，limR.Oxyyax3例4问：火车轨道由直轨转入弯道时，为什么不立即接上圆弧轨道？答：直轨AB的曲率：k直0,曲率半径：R直.而圆弧的曲率半径：R圆R0(常数).由于向心力：F向心力,所以若在拐弯点BRmv2接上圆弧，则向心力F向心力在B点不连续，从而产生剧烈震动

7、.为了行驶平稳，往往在直道和弯道之间接入一段缓冲段,使曲率连续地由零过渡到1.R0通常用三次抛物线y1x3，x[0,x0]作为并且当l很小(l1)时RRRxORA(x0,y0)C(x0,0)l在终端A的曲率近似为1.6Rl缓冲段OA，其中l为OA的长度.验证缓冲段OA在始端O的曲率为零,y证如图,x的负半轴表示直道，OA是缓冲段,AB是圆弧轨道.（（lx0.在缓冲段上,6Rly1x3xyOR00A(x,y)0C(x,0)lBKyx,RlR实际要求x[0,l],Rl2Rl2R1Qy

8、1x2l0,y1x,O故缓冲始点的曲率K0,缓冲终点的曲率KAKxl1.Rl1解x1costa(1cost)2yysint,y1d(y)1,代入曲率中心公式,得a(tsint),a(cost1).⎩⎧πa,xdtyOMxOa(sin),a(1cos).(仍为摆线)⎩令tπ,⎨2a,可得例5求摆线⎨ya(1cost)的渐屈线方