§7.6平面曲线曲率.ppt

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1、§7.6平面曲线的曲率平面曲线的曲率曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量)21)SSM21M2MM3SS2N1NM1)弧的长度相同转角相同转角越大弧的长度越短弧段弯曲程度越大弯曲程度越大平面曲线的曲率设曲（线C是光滑的，M,M'为C上两点,MMs,MM切线转角为.（定义6.1弧段MM的平均曲率为K.s曲线C在点M处的曲率Klims0sd在lim存在的条件下,K.s0sds注意:直线的曲率处处为零.平面曲线的曲率d曲率的计算公式K.dsx(t),22设二阶可导,dsx(t)y(t)dt

2、y(t),dy(t)(t)tan,arctan,dx(t)(t)d'(t)(t)(t)(t)(t)3dss'(t)[2(t)2(t)]2(t)(t)(t)(t)k.3222[(t)(t)]平面曲线的曲率特别的，若曲线L:yf(x)，曲率公式为yk.322(1y)平面曲线的曲率例1求半径为R的圆周的曲率.(t)(t)(t)(t)解：设圆周方程为k3222[(t)(t)]xRcost(0t2).yRsintx'

3、Rsint,x"Rcost,y'Rcost,y"Rsint,1代入得k.R圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径越小曲率越大.平面曲线的曲率2例2抛物线yaxbxc上哪一点的曲率最大?解y2axb,y2a,yk.32a22k.(1y)322[1(2axb)]b显然,当x时,k最大.2a2bb4ac又(,)为抛物线的顶点,2a4a抛物线在顶点处的曲率最大.平面曲线的曲率曲率圆与曲率半径定义设曲线yf(x)在点yM(x,y)处的曲率为k(k0).yf(x)D1在点M处的曲线的法线上,kM在凹的一侧取一点D,

4、使DMox1.以D为圆心,为半径k作圆(如图),称此圆为曲线在点M处的曲率圆.D曲率中心,曲率半径.平面曲线的曲率注意:1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数.11即,k.k2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲率越大(曲线越弯曲).3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).作业习题7.6(1)(2)