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1、第十四章推理与证明考点帮·必备知识通关考点1合情推理与演绎推理考点2直接证明与间接证明考法帮·解题能力提升考法1合情推理考法2演绎推理考法3直接证明考法4间接证明考情解读考情解读考点1合情推理与演绎推理考点2直接证明与间接证明考点帮·必备知识通关考点1合情推理与演绎推理1.合情推理合情推理包括归纳推理和类比推理,二者区别如下:考点1合情推理与演绎推理考点1合情推理与演绎推理2.演绎推理演绎推理是从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论的推理,它是由一般到特殊的推理.演绎推理的一般模式是“三段论”,其结构和表示如下:考点1
2、合情推理与演绎推理注意(1)从推理所得的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待进一步证明;演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下,得到的结论一定正确.(2)合情推理是发现结论的推理;演绎推理是证明结论的推理.考点2直接证明与间接证明1.直接证明考点2直接证明与间接证明考点2直接证明与间接证明2.间接证明——反证法(1)定义一般地,假设原命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫作反证法.(2)适用范围①否定性命题;②命题的结论中出现“
3、至少”“至多”“唯一”等词语;③命题成立非常明显,直接证明可用的理论太少,且不容易证明,而其逆否考点2直接证明与间接证明命题非常容易证明;④正面证明要讨论的情况很复杂,而反面证明情况很简单.注意常用的正面词语的否定详见本书P006常用的正面词语和它的否定词语.考法1合情推理考法2演绎推理考法3直接证明考法4间接证明考法帮·解题能力提升考法1合情推理命题角度1归纳推理的应用示例1[2020哈尔滨九中三模]古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是指在等距的排列下可以形成正三角形的点(或圆球)的数量,如1,3,6,10,15,…….我
4、国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中记载了“落一形”堆垛,即每层的球的个数为“三角形数”的堆垛(顶层1个球,下一层3个球,再下一层6个球,……).若一“落一形”堆垛有10层,则组成该堆垛的球的总个数为A.55B.220C.285D.385考法1合情推理考法1合情推理考法1合情推理方法技巧1.归纳推理的常见类型及求解策略(1)数的归纳.主要包括数字归纳和式子归纳,解决此类问题时,需要细心观察,寻求相邻项及项与序号之间的关系,同时还要联系相关的知识,如等差数列、等比数列等.(2)形的归纳.主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳
5、,解决的关键是抓住相邻图形之间的关系.2.归纳推理的一般步骤思维拓展三角形数的性质:(1)第n个三角形数是从1开始的n个自然数的和;(2)两个相邻的三角形数之和是平方数.考法1合情推理命题角度2类比推理的应用示例2[2020陕西咸阳5月三模]如图14-3所示,同一个平面内有两个边长都是a的正方形,其中一个的顶点是另一个的中心,则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间,有两个棱长均为a的正方体,其中一个的顶点是另一个的中心,则这两个正方体重叠部分的体积恒为.思维导引由正方形(二维)类比推理到正方体(三维),面积是边长的平方
6、,体积是边长的立方,据此求解即可.图14-3考法1合情推理考法1合情推理图14-4图14-5方法技巧1.类比推理常见类型及求解关键(1)类比定义——从定义出发求解.(2)类比性质——从特殊式子、特殊图形的性质入手,深入思考二者的转化过程.(3)类比方法——处理问题的方法具有类比性,注意知识的迁移.类比推理常见的情形有平面与空间类比、低维的与高维的类比、等差数列与等比数列类比、数的运算与向量的运算类比、圆锥曲线间的类比等.考法1合情推理2.类比推理的一般步骤考法1合情推理示例3[2019全国卷Ⅱ,5,5分][文]在“一带一路”
7、知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测.甲:我的成绩比乙高.乙:丙的成绩比我和甲的都高.丙:我的成绩比乙高.成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙考法2演绎推理解析解法一若甲预测正确,则乙、丙预测错误,则甲比乙成绩高,丙比乙成绩低,故3人成绩由高到低依次为甲,乙,丙;若乙预测正确,则丙预测也正确,不符合题意;若丙预测正确,则甲必预测错误,可得丙比乙的成绩高,乙比甲成绩高,即丙比甲、乙成绩都高,即乙预测正确,不符合题意.解法二看
8、选项,判断有几个人预测正确.对于选项A,三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙,则甲对乙错丙错,符合题意;对于选项B,三人按成绩由高到低的次序为乙、甲、丙,则甲错乙错丙错,不符合题意;对于选项C,三人按成绩由高到低的次序为丙、乙、甲,则甲错乙对丙对,不符合题意;对于选项D,三人按成绩由高到低