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1、张量分析第一章连续介质力学研究对象:大量粒子构成的系统的宏观力学行为.可视为连续体统计平均值宏观物理量随物质点的变化而改变----场(应力场,应变场,速度场,位移场和温度场……连续体模型—固体,流体21)变形几何和运动学研究连续介质变形的几何性质,确定物体各部分空间位置的变化及各邻近点距离的变化;研究随时间变化的物理量的时间变化率.2)连续介质满足的物理基本定律质量守恒,动量守恒,能量守恒,热力学基本定律3)连续介质的本构方程描述各种连续介质模型对外部作用的响应;31.张量的概念满足坐标变换规律运算法则2.证明一些恒等式3
2、.梯度,散度,旋度等概念重点掌握:第一章连续介质力学的数学基础71.1矢量1.1.1矢量的概念在三维欧几里得空间内,具有大小和方向的有向线段.矢量的表示粗体字或字母上箭头矢量相等大小和方向相同单位矢量大小为1零矢量大小为0第一章连续介质力学的数学基础8图形表示x1x2x3ayaxazaaaO用三个有序数组表示矢量大小矢量分量:9(1)矢量和(平行四边形法则)(2)矢量差(3)矢量与标量的积满足结合律和分配律ama1.1.2矢量和,差与积10点积满足(4)矢量的点积标量11注意:(5)矢量的叉积baaxbO-axb12(6)
3、并矢定义展开共9项，可视为并矢的基为并矢的分解系数或分量13自由指标:无重复出现的指标,取值域1,2,3(三维空间中)哑标:重复出现一次且仅重复一次的指标为求和指标或为哑标.1.1.3Einstein求和约定在同一项内的一个指标的重复,将表示对该指标在它的范围上遍历求和.如14(1)求和指标不区分该指标表示的各个分量,而是一种约定的求和标记.(2)连续介质的研究对象是三维连续体,取值范围为1,2,3几个注意事项:15(3)同一项中重复出现的指标不能超过两次.应写成(4)同一等式中,同一文字指标在其中的一项单独出现,则它在其
4、他某项内重复出现,对该项也不求和.16(5)不能改变某一项的自由标,但所有项的自由标可以改变.如WrongRight17(6)Kronecker符号Delta几个重要式子:1819例:分量形式:201,当是1,2,3的偶排列123,231,312-1,当是1,2,3的奇排列132,321,2130,当中有取值相同者.1.1.4置换符号123123偶排列奇排列21矢量叉积用置换符号可写成221.1.5三矢量之积三矢量标量积(混合积)babxcc三矢量叉积231.2恒等式第一种证明:(利用了行列式的定义)24令上式得:根据求和
5、约定得:25第二种方法:利用双重外积公式将代入上式,可得:将上两式代入,移项,得由的任意性,可证明26第三种证法:混合积的行列表达式有:271.3张量张量是数学上或物理上所用的概念.应力,应变等当坐标系改变时，满足特有的转换规律。两个向量可以写成:表示坐标转换的夹角的余旋28当组合两个向量时，可得到左边右边29换一种表示方法,有这样，得到一个量具有分量定义此量为（笛卡尔）2阶张量30笛卡尔坐标系基矢量1.3.2笛卡尔坐标变换平移旋转后P31矢量OP在不同坐标系中的变换有:或用点乘上式,得或用点乘,得代表坐标系平移部分.代表
6、坐标系旋转部分.质点的运动变换32若则有矢量的坐标变换规律.1)基矢量具有与坐标分量相同的变换规律;2)33正交性3)341.3.2张量定义张量的定义:张量的分量在坐标系变换时满足一定的变换规律.张量分量中所含指标的个数称为张量的阶.在三维空间中,每个指标可取1,2,3之值.若张量的维数为N,分量个数则为3N35只有一个分量,且其值不随坐标系改变,即标量是坐标变换下的不变量.2)一阶张量(矢量或向量)分量个数:3;它们随坐标系变换的规律,满足1)零阶张量(即标量)或364)N阶张量分量个数:3N,分量随坐标系的变换规律:当
7、指标又有附标时,可以简化符号或3)二阶张量(应力,应变)分量个数:9;分量随坐标系的变换规律:或37表示连乘符号:或这样,n阶张量的变换规律为:由此张量定义得知,如在某直角坐标系下张量的所有分量都是零,则换到任一其他直角坐标系中,此张量的分量也都是零.这种分量都是零的站称其为零张量.381.4张量的运算(1)张量加减:阶数相同的张量可以加减,得到同阶的张量;分量与分量相加减;的定义是由于和均为n阶张量,因此也是n阶张量.39(2)张量与标量相乘:标量与每一个分量相乘,阶数相同若为n阶张量，则可证明也是n阶张量。的定义是40
8、(3)张量相乘:两张量和的张量乘积记为.新张量的每一个分量是由一个张量的每一分量与另一个张量的每一分量的乘积组成.新张量的阶数等于相乘两个张量的阶数之和.注意:上式中不只对约定求和,而是要对都约定求和.41分量形式:若一般情况42已知分别是m阶和n阶张量,运用张量乘积的定义证明是m+n阶张量.练习:43
