2021届高考数学解答题挑战满分专项4.1 解三角形（理）（解析版）.docx

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1、2021届高考数学（理）解答题挑战满分专项专题4.1解三角形1．（2020·全国高考真题（理））中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．（1）求A；（2）若BC=3，求周长的最大值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出的形式，进而求得；（2）利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，进而得到结果．【解析】（1）由正弦定理可得，，，．（2）由余弦定理得，即．（当且仅当时取等号），，解得（当且仅当时取等号），周长，周长的最大值为．【名师点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正

2、弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值．2．（2019·全国高考真题（理））的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．（1）求A；（2）若，求sinC．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得，从而可整理出，根据可求得结果；（2）利用正弦定理可得，利用、两角和差正弦公式可得关于和的方程，结合同角三角函数关系解方程可求得结果．【解析】（1）即，由正弦定理可得，，，；（2），由正弦定理得又

3、，整理可得解得或因为所以，故．（2）法二：，由正弦定理得又，整理可得，即由，所以．【名师点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系．3．（2018·全国高考真题（理））在平面四边形中，，，，．（1）求；（2）若，求．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据正弦定理可以得到，根据题设条件，求得，结合角的范围，利用同角三角函数关系式，求得；（2）根据题设条件以及第一问的结论可以求得，之后在中，

4、用余弦定理得到所满足的关系，从而求得结果．【解析】（1）在中，由正弦定理得．由题设知，，所以．由题设知，，所以；（2）由题设及（1）知，．在中，由余弦定理得．所以．【名师点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理、同角三角函数关系式、诱导公式以及余弦定理，在解题的过程中，需要时刻关注题的条件，以及开方时对于正负号的取舍要从题的条件中寻找角的范围所满足的关系，从而正确求得结果．4．（2018·天津高考真题（理））在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．（1）求角B的大小；（2）设a=2，c=3，求

5、b和的值．【答案】（1）；（2），．【分析】（1）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得，则B=．（2）在△ABC中，由余弦定理可得b=．结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得【解析】（1）在△ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．因为，可得B=．（2）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=．由，可得．因为a

6、用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．5．（2018·北京高考真题（理））在△ABC中，a=7，b=8，cosB=–．（1）求∠A；（2）求AC边上的高．【答案】（1）∠A=（2）AC边上的高为【分析】（1）先根据平方关系求，再根据正弦定理求，即得；（2）根据三角形面积公式两种表示形式列方程，再利用诱导公式以及两角和正弦公式求，解得边上的高．【解析】（1）在△ABC中，因为cosB=–，所以B∈（，π），所以sinB=．由正弦定理得=，所以sinA=．因为B∈（，π），所以A∈（0，），所以

7、∠A=．（2）在△ABC中，因为sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA==．如图所示，在△ABC中，因为sinC=，所以h==，所以AC边上的高为．【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．6．（2019·全国高考真题（理））的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A，B，C均为三

8、角形内角解得．（2）根据三角形面积公式，又根据正弦定理和得到关于的函数，由于是锐角三角形，所以利用三个内角都小于来计算的定义域，最后求解的值域．【解析】（1）根据题意，由正弦定理得，因为，故，消去得．，因为故或者，而根据题意，故不成立，所以，因为，代入得，所以．（2）因为是锐