最新声学基础S2_梅景放教学讲义ppt课件.ppt

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1、声学基础S2_梅景放2弹性体振动学2.1弦的振动2.2棒的振动2.3膜的振动2.4板的振动2.弹性体振动学在第一章中，介绍了集中参数系统，假设振动系统的质量集中在一点上，描述系统性质的一些参量（如质量、弹性系数、力阻等）都与空间无关。对于此种系统的运动只需要一个时间变量t就可以描述。但在实际问题中物体是由大小的，有时“质点”假设不再适用。有不少振动系统质量在空间有一连续分布，并且空间中某一部分的质量本身还包含着弹性和阻尼性质。这种系统称分布参数系统，具有这种性质的物体常称弹性体。2.1弦的振动2.1.1弦的振动方程因为单元的选择具有任意性，上式可以描述弦上任意位置的运动规律，即为弦的振动方程。

2、2.1弦的振动2.1.2弦的振动方程的一般解弦的振动方程是一个二阶偏微分方程，它的解是两个独立变量x和t的函数，假设方程的解为以下形式：2.1弦的振动2.1.2弦的振动方程的一般解2.1弦的振动2.1.2弦的振动方程的一般解在前面的弦振动一般解中，出现了两个不同方向传播的波函数。这就说明假设在初始时刻，对弦某一位置施加一扰动，则这一扰动就会向两个相反的方向传播。一般说弦总是有界的，例如弦的两端被固定，因而在端点处，这种传播着的扰动会被反射回来。如果弦的两端固定，边界处的位移为0，已知弦的长度为l，弦的边界条件为：如是有：2.1弦的振动2.1.2弦的振动方程的一般解由上述边界条件可知，描述弦振动

3、的两个函数是形式相同而符号相反的。可推广为：和前面的比较，于是有:2.1弦的振动2.1.3自由振动的一般规律——弦振动的驻波解弦的振动方程的解可以写成如下形式：于是有：2.1弦的振动2.1.3自由振动的一般规律——弦振动的驻波解于是可以分别得到两个独立的方程：经过以上分离变量后，就把一个偏微分方程分解成两个具有单一独立变量的常微分方程，直接写出方程的解如下：2.1弦的振动2.1.3自由振动的一般规律——弦振动的驻波解2.1弦的振动2.1.3自由振动的一般规律——弦振动的驻波解2.1弦的振动2.1.3自由振动的一般规律——弦振动的驻波解因为弦振动时激发的固有频率都是谐频，所以弦乐器一般听起来的音

4、色是感到和谐的。上式称为弦的第n次振动方式，或称简正振动方式。振幅分布图如右图所示：振幅为0的地方称波节，振幅极大的地方称波腹。2.1弦的振动2.1.3自由振动的一般规律——弦振动的驻波解在n次振动方式的波节处有方程:2.1弦的振动2.1.3自由振动的一般规律——弦振动的驻波解在n次振动方式的波腹处有方程:从上式可以看出，对于n次振动方式有n个波腹。对于一定的振动方式，波节和波腹在弦上的位置是固定的，这种振动方式也称为驻波方式。2.1弦的振动2.1.3自由振动的一般规律——弦振动的驻波解每一简正振动方式都是弦的振动方程的一个特解，因而该方程的一般解应是所有简正振动方式的线性叠加，所以弦的总位移

5、可以写成一下形式：2.1弦的振动2.1.4弦振动的能量线密度因而，整个弦的动能为：2.1弦的振动2.1.4弦振动的能量当弦发生位移后，元段伸长为：所以，伸长时张力T做的功等于：2.1弦的振动2.1.4弦振动的能量于是，弦的总能量为：又有：2.1弦的振动2.1.4弦振动的能量利用正弦和余弦函数的正交性可得：其中：2.2棒的振动弦的振动，假设弦是柔顺的，其恢复平衡的力主要是张力。这里研究一种为棒的弹性体，认为这种物体是坚硬的，其恢复力主要是由自身的劲度(或弹性)产生的。而张力与之相比可以忽略。这里我们要讨论的棒是截面积均匀的细棒，所谓的细就是指横向尺寸比长度要小，而在同一截面上各点的运动可以看成是

6、均匀的，这样我们可以用棒的中心轴的坐标来代替棒的纵向位置。2.2棒的振动2.2.1棒的纵向振动方程如右图所示，长为l，截面积为S的均匀细棒。假设在棒的x方向施加一力，使棒中各个位置的质点发生纵向位移。2.2棒的振动2.2.1棒的纵向振动方程根据应力与应变的关系有：2.2棒的振动2.2.1棒的纵向振动方程棒的纵振动方程2.2棒的振动2.2.1棒的纵向振动方程固体棒做纵向胀缩运动时，它的横向也会产生一定的胀缩。但是对于细棒可以忽略这种横向运动。然而，对于横向尺寸并不比纵向小的物体块来说，其纵波传播速度也可以用以下公式表示：为材料的泊松比2.2棒的振动2.2.2棒的纵向振动的一般规律同弦振动一样，棒

7、的振动也受边界条件和初始条件限制，下面将讨论边界条件对棒纵向振动的影响。2.2棒的振动2.2.2棒的纵向振动的一般规律1.两端固定的棒：上式就是两端固定的棒作纵向振动时的简正频率。2.2棒的振动2.2.2棒的纵向振动的一般规律简正频率对应的振动方程可写为：棒的总位移为：2.2棒的振动2.2.2棒的纵向振动的一般规律2.2棒的振动2.2.2棒的纵向振动的一般规律2.两端自由的棒：2.2棒的振动2.2