最新凯莱-哈密顿法(1)教学讲义PPT课件.ppt

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1、凯莱-哈密顿法(1)8用MATLAB求解系统方程6线性连续系统方程的离散化7线性离散系统的运动分析2.1线性定常系统齐次状态方程的解线性定常系统齐次状态方程为（1）（2）先考察标量齐次微分方程的幂级数解法假设其解为一幂级数（3）将（3）式代入（2）式这时系统的输入为零2.2状态转移矩阵线性定常系统齐次状态方程的解为或其几何意义是：系统从初始状态开始，随着时间的推移，由转移到，再由转移到，……。的形态完全由决定。2.2.1状态转移矩阵的基本性质1）即2）即3）可逆性即4）传递性即5）当且仅当时，有如果时，则2.2.2状态转移矩阵的求法方法1根据定义，计算方法2应用拉普拉斯变换法，计算对

2、上式求拉普拉斯变换，得如果为非奇异（9）LL（10）由微分方程解的唯一性L例2-2线性定常系统的齐次状态方程为求其状态转移矩阵解于是L方法3应用凯莱-哈密顿定理，计算凯莱-哈密顿定理：矩阵A满足自身的特征方程。即根据凯莱-哈密顿定理（11）例用凯莱-哈密顿定理计算解由凯-哈定理：所以（11）式表明：是、、、、的线性组合（12）将（11）式代入（12）式，不断地进行下去，可以看出：、、、都是、、、、的线性组合（13）其中，，为待定系数。的计算方法为：1）A的特征值互异应用凯-哈定理，和都满足的特征方程。因此，也可以满足（13）式。（其中，）写成矩阵形式（14）于是（15）例2-3线性定

3、常系统的齐次状态方程为用凯-哈定理计算其状态转移矩阵解即2）A的特征值相同，均为（16）3）A的特征值有重特征值，也有互异特征值时，待定系数可以根据（16）式和（15）式求得。然后代入（13）式，求出状态转移矩阵求系统状态转移矩阵。例2-4线性定常系统齐次状态方程为解应用凯-哈定理计算A的特征值为于是状态转移矩阵方法4通过线性变换，计算因为而因为对角阵的特殊性质，有：1）矩阵A可以经过线性变换成为对角阵，计算因此，状态转移矩阵为例2-5线性定常系统的齐次状态方程为用线性变换方法，计算其状态转移矩阵解（17）2）矩阵A可以经过线性变换成为约当形阵，计算状态转移矩阵为（18）3）矩阵A可

4、以经过线性变换成为模态形阵，计算如果矩阵A的特征值为共轭复数经过线性变换，可转换为模态矩阵M其中系统状态转移矩阵为（19）2.3线性定常系统非齐次状态方程的解线性定常系统非齐次状态方程为（20）改写为（21）（21）式两边同乘得或写成（22）对（22）式在0到t时间段上积分，有（23）（24）（24）式两边同乘，并且移项（25）（26）（27）更一般情况，当（28）由式（25）或式（27）可知，系统的运动包括两个部分。一部分是输入向量为零时，初始状态引起的，即相当于自由运动。第二部分是初始状态为零时，输入向量引起的，称为强迫运动。正是由于第二部分的存在，为系统提供这样的可能性，即通过

5、选择适当的输入向量，使的形态满足期望的要求。例2-8线性定常系统的状态方程为解在例2-2中已经求得由（26）式系统的输出方程为则或（29）可见，系统的输出由三部分组成。当系统状态转移矩阵求出后，不同输入状态向量作用下的系统输出即可以求出，进而就可以分析系统的性能了。2.4线性时变系统的运动分析（30）线性时变系统方程为2.4.1齐次状态方程的解（31）初始状态为其中，是状态转移矩阵，并且满足以下方程（33）满足初始条件（34）根据我们对线性定常齐次系统解的知识，可以假设线性时变齐次系统的解应该具有以下形式，然后加以证明（32）证明（30）式两边对t求导并且时即2.4.2状态转移矩阵的

6、基本性质1）满足自身的矩阵微分方程及初始条件，即2）可逆性3）传递性4）2.4.3状态转移矩阵的计算用级数近似法计算计算系统状态转移矩阵例2-9线性时变系统齐次状态方程为（35）解将代入（35）式其中2.4.4线性时变系统非线性齐次状态方程的解（38）（39）其解为证明[将（39）式代入状态方程（38）式，等式成立]（40）或2.4.5系统的输出（41）（42）或2.5线性系统的脉冲响应矩阵2.5.1线性时变系统的脉冲响应矩阵假设系统初始条件为零，输入为单位脉冲函数，即其中，τ为加入单位脉冲的时刻。而第i个分量就表示在时刻，仅在第i个输入端施加一个单位脉冲。系统的输出为：≜（43）为

7、m维向量，它表示系统输出对输入的第i个元素在τ时刻加入单位脉冲时的响应。将，按次序排列，则（44）线性时变系统脉冲响应矩阵≥（45）2.5.2线性定常系统的脉冲响应矩阵≥脉冲响应矩阵为（46）如果单位脉冲出现在τ=0的时刻，则脉冲响应矩阵为≥（47）2.5.3传递函数矩阵与脉冲响应矩阵之间的关系对（47）式求拉普拉斯变换L而（48）上式可改写成（49）如果存在，则（50）将（50）式代入（48），得到（51）（52）当D=0时可见，线性定常系统在初始松弛情