最新【PPT】-4.2空间群4.2.1平移群教学讲义PPT.ppt

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1、【PPT】-4.2空间群4.2.1平移群按周期性条件：E是平移操作中的不变操作按群的定义，容易证明：操作的集合：组成一个Abel群，共有N个元素，(阶为N)，每个元素自成一类，只有一维的不可约表示。对三维晶体，三个不在同一平面内的基矢和组成一个最小的元胞（基胞：primitiveunitcell）基胞无限重复平移形成的晶体，周期条件为：定义操作：其中(,i=1,2,3)称作格矢。显然：任一个和另一个是互易的，而且：平移操作一共有个，它们构成一个使三维晶格保持不变的群——平移群，它是Abel群，它的各格矢的端点就是晶格。但是中心反演后再作平移操作:就能使D1处的原子搬到A1处，而A1处的原子搬到

2、D1处等等。∴反演J+平移τ就是一个可以使晶体结构保持不变的操作，不过这已不是点群操作，而是空间群操作了。xyzA1A7A6A5A4A3A2A8F1F2F3F4F5F6D2D4D3D1D'1晶体的一切空间群操作可以表为：其中i=1,2,……h，h为空间群的阶，而转动操作（真转动和非真转动）Ri的集合（i=1,2,……h'）则构成一个点群，叫做空间群的点群。一般用：表示空间群表示空间群的点群。4.2.3布拉菲格子（BravaisLattice）空间群操作为：其中是格矢：定理：任何空间群都有一个平移群作为它的的一个子群，而且该子群是一个正规子群。证：①=g已经包括了空间群的所有N1N2N3个平移对

3、称操作，它是空间群的一个子群。②a）b）现设空间群中任一个不属于平移群操作的操作为，R是一个旋转操作，则：也是属于N1N2N3个平移操作的，空间群应是封闭的，也应是空间群的操作，但空间群的平移操作已经全部包含在中了，所以和必代表同一个平移群，即R作用在格矢上时，只能将它搬到另一个格矢上去，（周期条件必须具备），和中，各格矢都是同一组N1N2N3个格矢，只是次序重排了一下。∴∴平移群是空间群的正规子群其实，正因为必须仍是格矢，所以R所属的旋转轴度数只能是1,2,3,4,6。由于点群操作R有一定的性质（Rtn必须是格矢），如果确定了R所属的点群，就对及其基矢施加了严格的限制，那么，和可能的三十二个

4、点群配合的基矢或基胞（即可能的晶格排列）只能有十四种（属七个晶系）叫做14种布拉菲晶格(BravaisLattice)。点群元素不一定是晶格的对称操作从已知的点群(32种)出发，分析与之相适合的可能的晶格排列，即可能的晶格基矢选择，从而对可能的晶格类型进行分类，得到晶体理论中的七个晶系，十四种布拉伐格子。空间群的分类：简单空间群：群中各元都是类型的算符。非简单空间群：群中的元可以是类型的算符。简单空间群的每一个群元可表示为纯平移和点群的纯转动算符的乘积：晶系布拉菲格子点群数乘积立方3515四角2714正交4312单斜236三斜122三角155六角177总数143261由于有些布拉菲格子同点群的

5、配合不止一种，如底心正交布拉菲格子与C3v的配合,二度轴可以与格子的高平行，也可以与高垂直。简单空间群实际有73个。非简单空间群与简单空间群相比增加两类操作：（1）螺旋操作(ScrewOperation)n度螺旋：表示绕轴S每转动2/n后，在沿该轴的方向平移R0/n的L倍（L小于n，R0为沿S轴方向上的格矢）螺旋操作中旋转必须是正当转动。螺旋对称总共有11种（21，31，32，41，42，43，61，62，63，64，65），41螺旋操作（2）滑移操作（GlideOperation)2度非正当转动接着平移R/n（n=2和4）组成一个滑移操作由于有了不到一个格矢的平移，又出现了157个非简单空

6、间群。总共有230个空间群。沿a2方向滑移R/2平移群是空间群的正规子群空间群的商群：空间群G按平移群T的陪集分解得商群G/T空间群G的阶g：g=iN=g0Ni为陪集的个数，N为平移群的阶，g0为商群的阶。可以是零矢量只要知道了空间群G关于平移群T的陪集代表元（可以不是唯一的），空间群G就可以确定了。4.2.4晶体空间群实例氯化钠结构的空间群Oh5（Fm3m）（面心立方格子）基矢：晶体学原胞固体物理学原胞他们的幂生成面心立方平移群Tf氯化钠结构的群Oh5是简单空间群，按平移群Tf作陪集分解，陪集代表元为：构成点群Oh金刚石结构的空间群Oh7（Fd3m）（面心立方格子）金刚石结构的群Oh7是非简

7、单空间群，按平移群Tf作陪集分解时，陪集代表元分成两类：空间群Oh7按平移群Tf的陪集分解为：一类是由Oh群余下的24个群元构成的陪集代表元，它们都有一个相同的非格矢平移一类是由Oh群的子群Td群同构的24个转动所构成的陪集代表元。这一类代表元中没有非格矢平移出现。金红石（TiO2）结构的空间群D4h14（P42/mnm)基矢相互垂直，且不是体心四方格子，而是由两个四方格子套构而成。布拉菲格子为简