最新[理学]工程物理基础 第1篇 声学基础 第2章 弹性体的振动PPT课件.ppt

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1、[理学]工程物理基础第1篇声学基础第2章弹性体的振动在第1章中，我们曾假定振动系统的质量是集中在一点的，弹簧的压缩与伸长是均匀的，描述系统性质的一些参数（如质量、弹性系数、力阻等）都与空间位置无关，这种系统称为集中参数系统。但实际上不少振动系统质量在空间有一连续分布，并且空间某一部分的质量本身还包含弹性和阻尼性质，这种系统称为分布参数系统，具有这种性质的物体称为弹性体。实际中的弹性体是多种多样的，我们仅选择几何形状比较简单，具有一定典型性，并在声学问题中也有实际意义的弹性体如弦、棒、膜等来进行简要分析。2.1弦的振

2、动弦是大家所熟悉的弹性体，如常见的弦乐器等。理想的振动弦是指具有一定质量，并有一定长度、性质柔顺的细丝或细绳，用一定方式把它张紧，并以张力作为弹性恢复力进行振动的弹性体。一般说弹性体自身还具有劲度，但对弦来说，这一自身的劲度与张力相比很小，可以忽略。这是理想弦的一个重要特点。因为弦的振动过程是一种较为直观的波动过程的模型，对这种振动过程的理论处理方法也是研究声学问题的基础。所以其中因为元段的选择具有任意性，所以式（2-1-3）可以用来描述弦上任意位置的振动规律，称之为弦的振动方程．2.1.2弦振动方程的一般解弦振动

3、方程（2-1-3）是一个二阶偏微分方程，它的解应是两个独立变量x和t的函数，设该方程的解具有下列形式：这里的f1和f2是自变量（ct－x），（ct＋x）的任意函数。将f1代入方程（2-1-3），可以证明它确实是方程（2-1-3）的解，现在我们来研究函数f1（ct－x）的物理意义。在t1时刻，x1处弦的横向位移由f1（ct1－x1）给出，在较后的一个时刻t2，我们观察点移到x＝x2，这时弦的位移f1（ct2－x2），见图2-3。如果在经过t2－t1的时间后，在x2处观察到原来（t=t1，x=x1）的状态，则必须满足：

4、ct1－x1＝ct2－x2，则这表明在经过t2－t1的时间后，在t=t1，x=x1处弦的位移状态没有变化地向x的正方向由x1点移到x2点，而移动的速度为c，因为位移的选择是任意的，因此每个横向波均以相同的速度向x正向移动。这意味着扰动的形状保持不变；函数f1（ct－x）表示了一个在x正方向传播的波动过程，称为波函数。由前面讨论可知，弦中的振动传播速度为即弦振动的传播速度是一个仅同弦的固有力学参数有关的常数，弦的张力T愈大（即弦张的愈紧）或线密度愈小（即密度愈小或截面积愈细），则传播速度c就愈大。类似地可以证明f2（

5、ct＋x）是一个沿x负方向，以传播速度c传播的波动过程。在上面的弦振动的一般解中，出现了两个沿不同方向传播的波函数。这就是说假定在初始时刻，对弦某位置施加一扰动，则这一扰动就会向两个相反方向传播。2.1.3自由振动的一般规律——弦振动的驻波解上一节我们讨论了弦振动的一般解，一般说弦总是有限长度的，因此当弦受到某一扰动时，这个扰动就会向两个相反的方向传播，到达边界时就会被反射回来，在弦上形成一定形式的波．下面我们来讨论它的具体振动方式，我们用分离变量法来求解弦振动方程。设方程（2-1-3）的解可以写成下列形式：X（x

6、）是仅包含位置变量x的函数，T（t）是仅包含时间变量t的函数，将式（2-1-6）代人方程（2-1-3）可得上式的左边仅与x有关，右边仅与t有关，x和t都是独立变量，如果式（2-1-7）对任何x和t成立，则其等号两边应恒等于一个与x和t都无关的常数，令该常数为，那么式（2-1-7）可以写成上述二方程的解分别为At，Bt，Ax，Bx均为待定常数，将式（2-1-10）、（2-1-11）代入式（2-1-6）中合并得其中A、B、是待定常数。如果弦的两端固定，对任何时间t满足下列边界条件将边界条件代入式（2-1-12）中得到因

7、为A＝0，所以B≠0，否则整个弦都不振动，显然没有意义。因此要有非零解就必有，则用一新符号代替，于是由式（2-1-12）可知，弦的位移对时间函数来说是一个简谐函数，因而应代表振动的固有频率，而fn代表弦振动频率。从式（2-1-16）可知，对于两端固定的弦，振动频率具有一系列特定的数值，并且仅与弦本身的固有力学参数有关，因而称为弦的固有频率。它与质点系统不同，一个单振子系统仅有一个固有频率，而弦的固有频率不止一个，而有n个，即无限多个，并且固有频率的数值不是任意的，变化也不是连续的，而是按n＝1，2，3，…次序离散变

8、化的，因而称弦的这种固有频率为简正频率。是弦振动的最低的一个固有频率，称为弦的基频。n＞1的各次频率称为泛频，由于各次泛频都是基频的整数倍，因而也称具有这样简单关系的固有频率为谐频，通常弦的基频为第一谐频，第一泛频为第二诣颇，依次类推。因为弦有一系列简正频率，也就是说，当弦作自由振动时，一般可以以许多频率同时在进行振动，而一系列fn对应的位移可根据式（2-1