第三届全国大学生数学竞赛决赛试题(非数学类)答案.doc

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1、个人收集整理勿做商业用途第三届全国大学生数学竞赛决赛试卷(非数学类，2012）本试卷共2页，共6题.全卷满分100分。考试用时150分钟。一、（本大题共5小题,每小题6分，共30分)计算下列各题（要求写出重要步骤)。（1）解:（2)解：（令)(3)设函数有二阶连续偏导数,满足且,是由方程所确定的函数.求解:依题意有，是函数，、是自变量。将方程两边同时对求导，，则，于是个人收集整理勿做商业用途(4）求不定积分解：（5）求曲面和所围立体的表面积解：联立，，解得两曲面的交线所在的平面为，它将表面分为与两部分，它们在平面上的投影为,在上在上则二、（本题13分）讨论的敛散性，其中是一个实

2、常数。解：记①若，;则发散②若,则，而；所以个人收集整理勿做商业用途发散。③若，即，考级数敛散性即可当时，对任何,我们有这样，存在,使得.从而可知,当,时，所讨论的积分收敛，否则发散。三、（本题13分）设在上无穷次可微，并且满足：存在，使得，，,且，求证：在上,证明：因为在上无穷次可微，且，所以(*）由，,得,于是由罗尔定理，对于自然数在上，存在,使得，且这里在上，对应用罗尔定理，存在个人收集整理勿做商业用途，使得，且于是类似的，对于任意的，有有（＊）四、(本题共16分,第1小题6分,第2小题10分）设D为椭圆形，面密度为ρ的均质薄板；l为通过椭圆焦点（其中)垂直于薄板的旋转轴

3、。1.求薄板D绕l旋转的转动惯量J;2.对于固定的转动惯量，讨论椭圆薄板的面积是否有最大值和最小值.解：1。2.设J固定，是确定的隐函数,则,对关于求导，个人收集整理勿做商业用途五、（本题12分)设连续可微函数由方程（其中有连续的偏导数）唯一确定，L为正向单位圆周.试求：解：由格林公式又：连续可微函数由方程两边同时对求偏导数:两边同时对求偏导数：代入上式：六、（本题共16分，第1小题6分，第2小题10分）(1）求解微分方程(2)如为上述方程的解，证明个人收集整理勿做商业用途