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时间:2021-04-16
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1、个人收集整理勿做商业用途第三届全国大学生数学竞赛决赛试卷(非数学类,2012)本试卷共2页,共6题.全卷满分100分。考试用时150分钟。一、(本大题共5小题,每小题6分,共30分)计算下列各题(要求写出重要步骤)。(1)解:(2)解:(令)(3)设函数有二阶连续偏导数,满足且,是由方程所确定的函数.求解:依题意有,是函数,、是自变量。将方程两边同时对求导,,则,于是个人收集整理勿做商业用途(4)求不定积分解:(5)求曲面和所围立体的表面积解:联立,,解得两曲面的交线所在的平面为,它将表面分为与两部分,它们在平面上的投影为,在上在上则二、(本题13分)讨论的敛散性,其中是一个实
2、常数。解:记①若,;则发散②若,则,而;所以个人收集整理勿做商业用途发散。③若,即,考级数敛散性即可当时,对任何,我们有这样,存在,使得.从而可知,当,时,所讨论的积分收敛,否则发散。三、(本题13分)设在上无穷次可微,并且满足:存在,使得,,,且,求证:在上,证明:因为在上无穷次可微,且,所以(*)由,,得,于是由罗尔定理,对于自然数在上,存在,使得,且这里在上,对应用罗尔定理,存在个人收集整理勿做商业用途,使得,且于是类似的,对于任意的,有有(*)四、(本题共16分,第1小题6分,第2小题10分)设D为椭圆形,面密度为ρ的均质薄板;l为通过椭圆焦点(其中)垂直于薄板的旋转轴
3、。1.求薄板D绕l旋转的转动惯量J;2.对于固定的转动惯量,讨论椭圆薄板的面积是否有最大值和最小值.解:1。2.设J固定,是确定的隐函数,则,对关于求导,个人收集整理勿做商业用途五、(本题12分)设连续可微函数由方程(其中有连续的偏导数)唯一确定,L为正向单位圆周.试求:解:由格林公式又:连续可微函数由方程两边同时对求偏导数:两边同时对求偏导数:代入上式:六、(本题共16分,第1小题6分,第2小题10分)(1)求解微分方程(2)如为上述方程的解,证明个人收集整理勿做商业用途
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