资源描述：
《第12讲平面向量的概念及线性运算.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、个人收集整理勿做商业用途平面向量的概念、线性运算及坐标运算一、【知识网络】平面向量平面向量的概念平面向量的坐标表示平面向量的基本定理平面向量的线性运算【考点梳理】考点一、向量的概念1．向量:既有大小又有方向的量.通常用有向线段表示，其中A为起点，B为终点。向量的长度又称为向量的模；长度为0的向量叫做零向量，长度为1的向量叫做单位向量。2．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，规定零向量与任一向量平行.平行向量可通过平移到同一条直线上,因此平行向量也叫共线向量。3．长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。零向量与零向量
2、相等。4.与长度相等，方向相反的向量叫做的相反向量，规定零向量的相反向量是零向量.要点诠释：①有向线段的起、终点决定向量的方向，与表示不同方向的向量；②有向线段的长度决定向量的大小,用表示，.③任意两个非零的相等向量可经过平移重合在一起，因此可用一个有向线段表示，而与起点无关。考点二、向量的加法、减法个人收集整理勿做商业用途1．向量加法的平行四边形法则平行四边形ABCD中（如图)，向量与的和为,记作:.（起点相同）2．向量加法的三角形法则根据向量相等的定义有：,即在Δ中，.首尾相连的两个向量的和是以第一个向量的起点
3、指向第二个向量的终点.规定：零向量与向量的和等于.3。向量的减法向量与向量叫做相反向量。记作:.则.要点诠释：①关于两个向量的和应注意:两个向量的和仍是一个向量；使用三角形法则时要注意“首尾相连”；当两个向量共线时，三角形法则适用,而平行四边形法则不适用.②向量减法运算应注意：向量的减法实质是加法的逆运算，差仍为一个向量；用三角形法则作向量减法时，记住“连结两个向量的终点，箭头指向被减向量”.要点三、实数与向量的积1．定义：一般地，实数与向量的积是一个向量，记作，它的长与方向规定如下：（1）；（2）当>0时，的方向
4、与的方向相同；当<0时，的方向与的方向相反;当=0时，；2．运算律设，为实数，则(1）；（2）；（3）个人收集整理勿做商业用途3．向量共线的充要条件已知向量、是两个非零共线向量,即，则与的方向相同或相反.向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使.要点诠释：①向量数乘的特殊情况:当时，；当时，也有；实数和向量可以求积,但是不能求和、求差.②平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的,在应用时，构成两个基地的向量是不共线的向量.考点四、平面向量的坐标运算1．平面向量的坐标表示选取直角坐标系的x轴
5、、y轴上的单位向量,为基底，由平面向量基本定理，该平面内任一向量表示成的形式，由于与数对（x，y）是一一对应的,因此把（x，y）叫做向量的坐标表示.2．平面向量的坐标运算已知,，则（1）(2）3．平行向量的坐标表示已知,，则(）要点诠释：①若，，则的充要条件不能表示成，因为有可能等于0，所以应表示为；同时的充要条件也不能错记为，等。②若,，则的充要条件是，这与在本质上是没有差异的，只是形式上不同。【典型例题】类型一、平面向量的相关概念个人收集整理勿做商业用途例1。下列说法中正确的是①非零向量与非零向量共线，向量与非
6、零向量共线，则向量与向量共线;②任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点；③向量与不共线，则与所在直线的夹角为锐角;④零向量模为0,没有方向；⑤始点相同的两个非零向量不平行；⑥两个向量相等，它们的长度就相等；⑦若非零向量与是共线向量，则A、B、C、D四点共线。【总结升华】从向量的定义可以看出，向量既有代数特征又有几何特征,因此借助于向量可将代数问题与几何问题相互转化。零向量是一特殊向量，它似乎很不起眼，但又处处存在。因此，正确理解和处理零向量与非零向量之间的关系值得我们重视。对于平行向量或共线向量
7、,它们可以在同一直线上，也可以所在直线互相平行,方向可以相同也可以相反；相等向量则必须大小相等、方向相同.举一反三：【变式1】判断下列各命题是否正确,并说明理由:(1)若，则；(2)单位向量都相等；（3)两相等向量若起点相同,则终点也相同；(4）若，,则;(5)若,则；（6）由于零向量方向不确定，故它不能与任意向量平行.【变式2】在复平面中，已知点A（2,1），B（0，2），C(－2，1），O（0，0）。给出下面的结论:①直线OC与直线BA平行；②;③;④。其中正确结论的个数是（)A．1B．2C．3D．4类型二、平
8、面向量的加减及其线性运算例2。如图,已知梯形中，，且，、分别是、的中点，设，，试以、为基底表示、、。个人收集整理勿做商业用途举一反三：【变式1】在△ABC中，已知D是AB边上一点，若,，则=________.【变式2】△ABC中,点D在AB上，平分，若，，，，则（)A。B.C.D.【变式3】如图,为平行四边形边上一点，且，设，，若，，求的值.【变式4】若是不
