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1、55乃氏稳定判据2010设复变函数一、辐角原理F(s)：除了在s平面上的有限个奇点外，它总是解析的，即为单值、连续的正则函数。其中：为复数变量图5-35s平面上的围线Cs及其在F(s)平面上的映射曲线Cf若在S平面上任取一封闭曲线Cs,且令S以顺时针方向沿着Cs变化,则上式求得其在F(S)平面上的映射曲线CF。在s平面上取一闭合路径Cs，且Cs上不会有F(s)的零点与极点。对于Cs上的s值，F(s)解析。1）Cs外的一点当从顺时针沿Cs绕一圈回到时，矢量的辐角变化为零，即推广：所有在Cs外的零、极点，当s沿Cs顺时针
2、绕一圈时，矢量辐角的变化均为零，对无影响。2）Cs内的一点当从顺时针沿Cs绕一圈回到时，矢量的辐角变化了，即推广：所有在Cs内的零、极，当s沿s顺时针绕一圈时，矢量辐角的变化均为“”。在s平面上取一闭合路径Cs，且Cs上不会有F(s)的零点与极点。对于Cs上的s值，F(s)解析。1）Cs外的一点当从顺时针沿Cs绕一圈回到时，矢量的辐角变化为零，即推广：所有在Cs外的零、极点，当s沿Cs顺时针绕一圈时，矢量辐角的变化均为零，对无影响。重放12）Cs内的一点当从顺时针沿Cs绕一圈回到时，矢量的辐角变化了，即推广：所有在C
3、s内的零、极点，当s沿Cs顺时针绕一圈时，矢量辐角的变化均为“”。重放2小结：设Cs内有Z个F(s)的零点，P个F(s)的极点，当s沿Cs从顺时针绕行一圈回到时，总的辐角变化值为：（逆时针包围）（顺时针包围）（不包围）如果s平面上的闭合曲线Cs以顺时针方向包围了F(s)的z个零点和p个极点，且此曲线不通过F(s)的任何极点和零点，则其在F(s)平面上的映射曲线CF将围绕着坐标原点旋转N周，其中N＝Z-P2.辐角原理若N＞0，表示曲线CF将以顺时针方向包围F(s)的坐标原点；设F(s)除了有限个奇点外，是一个解析函数。
4、若N＜0，则表示曲线CF以逆时针方向包围F(s)的坐标原点；若N=0，则表示曲线CF不包围F(s)的坐标原点。二、乃氏稳定判据复变函数F(s)的选择S平面的闭合曲线CsF(s)平面闭合曲线CF的绘制幅角原理的应用1.选因为F(s)的零点为系统的闭环极点，所以在s平面的右半边有一个或一个以上的F(s)零点存在，则闭环系统就是不稳定的。应用辐角原理确定s右半平面是否存在F(s)零点辅助函数F(s)具有如下特点：其零点和极点分别是闭环特征根和开环G(s)H(s)的极点。其零点的个数与极点的个数相同。辅助函数与系统开环传递函
5、数只差常数1。2.选s平面的闭合曲线Cs分析思路：1）取一闭环曲线Cs（不经过F(s)的零、极点），包围整个s的右半平面（虚轴及半径为无穷的半圆）。2）取s点顺时针沿Cs变化一圈后，F(s)平面上的映射曲线CF包围坐标原点？包围的圈数？方向？2.选s平面的闭合曲线CsCs：第一部分：虚轴CF：当s沿Cs变化时第一部分：第二部分：半圆第二部分：点G(s)H(s)不含有位于虚轴上的极点和零点RImCFReF平面01GH平面ImReω=0ω=∞G(s)H(s)不含有位于虚轴上的极点和零点3.F(s)平面闭合曲线CF的绘制绘
6、制4.乃氏稳定判据如果开环系统是稳定的，即P=0，那么闭环系统稳定的条件是：开环频率特性G(jw)H(jw)曲线不包围（-1,j0）这一点。如果开环系统是不稳定的，且有P个开环极点在s的右半平面，则其闭环系统稳定的充要条件是：开环频率特性G(jw)H(jw)曲线应逆时针围绕(-1,j0)点旋转N（=P）圈。否则闭环系统是不稳定的。P=14.乃氏稳定判据如果开环系统是稳定的，即P=0，那么闭环系统稳定的条件是：开环频率特性G(jw)H(jw)曲线不包围（-1,j0）这一点。如果开环系统是不稳定的，且有P个开环极点在s的
7、右半平面，则其闭环系统稳定的充要条件是：开环频率特性G(jw)H(jw)曲线应逆时针围绕(-1,j0)点旋转N（=P）圈。否则闭环系统是不稳定的。若开环频率特性G(jw)H(jw)曲线穿越（-1,j0）这一点，临界稳定。乃氏稳定判据总结：1.作:乃氏曲线,对称于实轴作乃氏曲线.２.判P=? , N=?3.Z=N+P,Z=0,闭环稳定。若Z不为零,闭环不稳定。闭环系统有Z个右根。:例5-6系统开环传递函数为试用乃氏判据判闭环系统的稳定性。解：没有极点位于s右半平面，即P=0。G(jw)H(jw)曲线不包围（-1,j0）
8、这一点。即N=0,所以Z=P+N=0，闭环系统稳定。例5-7一个单位负反馈系统的开环传递函数为试确定闭环稳定的K值范围。解：有一个极点位于s右半平面，即P=11.K>1,G(jω)曲线按逆时针包围（-1,j0）点旋转一周。即N=-1所以Z=P+N=0，闭环系统稳定。2.K<1,G(jω)曲线不包围（-1,j0）点旋转一周。即N=0所以Z=P+N
