通信原理第2章(3).ppt

《通信原理第2章(3).ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2.2.3平稳随机过程自相关函数的性质对于平稳随机过程而言，它的自相关函数是特别重要的一个函数。原因如下:其一，平稳随机过程的统计特性，如数字特征等，可通过自相关函数来描述；其二，自相关函数与平稳随机过程的频谱特性有着内在的联系。因此，我们有必要了解平稳随机过程自相关函数的性质。设ξ(t)为实平稳随机过程，则它的自相关函数为:R(τ)=E［(ξ(t)ξ(t+τ)］(2.2-8)则具有如下性质:（1）R(0)=E［ξ2(t)］=S≥0［ξ(t)的平均功率］(2.2-9)即:平稳随机过程的均方值就是自相关函数在τ=0时的非负值S。并且这个S代表了随机过程的平均功率。（2

2、）R(∞)=E2［ξ(t)］［ξ(t)的直流功率］(2.2-10）当τ→∞时，ξ(t)与ξ(t+τ)没有依赖关系，即统计独立，且认为ξ(t)中不含周期分量。（3）R(τ)=R(-τ)［τ的偶函数］(2.2-11)（4）

3、R(τ)

4、≤R(0)(2.2-12)即:自相关函数在τ=0时具有最大值。（5）R(0)-R(∞)=σ2［方差，ξ(t)的交流功率］(2.2-13)且当均值为0时，有R(0)=σ2。（6）若平稳ξ(t)满足ξ(t)=ξ(t+T)，则称其为周期平稳随机过程，其中T为过程的周期。并且其自相关函数R(τ)也为周期函数，并且周期也为T。（7）若平稳ξ(t)含有

5、一个周期分量，则其R(τ)也含有一个相同周期的周期分量。这里举个例子说明：例1:设某接收机的输入混合信号X(t)是随机相位正弦信号S(t)和噪声电压N(t)的和，即：，并且是(0,2)上均匀分布的随机变量。且N(t)为平稳随机过程，求X(t)的自相关函数。解:既然N(t)为平稳随机过程，则可以设其自相关函数为RN(τ)，则X(t)的自相关函数为：其中：例2:已知平稳随机过程ξ(t)的自相关函数为：利用自相关函数的性质求ξ(t)的均值与方差。解:根据性质2可得：R(∞)=E2［ξ(t)］=36则有：E［ξ(t)］=±6再由性质1可得：R(0)=E［ξ2(t)］=40最后

6、可由性质5得：R(0)-R(∞)=σ2=40-36=4因此求得，均值为36，方差为4。2.2.4平稳随机过程的功率谱密度随机过程的频谱特性是用它的功率谱密度来表述的。我们知道，随机过程中的任一实现是一个确定的功率型信号。而对于任意的确定功率信号f(t)，它的功率谱密度为：式中，FT(ω)是f(t)的截短函数fT(t)（见图2-2）所对应的频谱函数。（2.2-14）图2-2功率信号f(t)及其截短函数我们可以把f(t)看成是平稳随机过程ξ(t)中的任一实现，因而每一实现的功率谱密度也可用式（2.2-14）来表示。但是由于ξ(t)是无穷多个实现的集合，哪一个实现出现是

7、不能预知的，因此，某一实现的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。这个时候可以把随机过程的功率谱密度应看做是任一实现的功率谱的统计平均，即ξ(t)的平均功率S则可表示成：（2.2-15）（2.2-16）其傅里叶反变换为：虽然式（2.2-15）给出了平稳随机过程ξ(t)的功率谱密度Pξ(ω)，但我们很难直接用它来计算功率谱。那么，如何方便地求功率谱Pξ(ω)呢？我们知道，确知的非周期功率信号的自相关函数与其频谱密度函数是一对傅立叶变换关系。那么对于随机过程，也有类似的关系，即：于是有：因为R(0)表示随机过程的平均功率，它应等于功率谱密度曲线下的面积。因此，Pξ(ω)必然

8、是平稳随机过程的功率谱密度函数。所以，平稳随机过程的功率谱密度Pξ(ω)与其自相关函数R(τ)是一对傅里叶变换关系,即（2.2-17）（2.2-18）或简记为:R(τ)Pξ(ω)关系式（2.2-18）称为维纳-辛钦定理，在平稳随机过程的理论和应用中是一个非常重要的工具。它是联系随机过程的频域和时域两种分析方法的基本关系式。（2.2-19）2.2.5平稳随机过程功率谱密度的性质功率谱密度是平稳随机过程在频率域的重要统计参量,它具有下列重要性质:（1）功率谱密度是非负的，即：Pξ(ω)>0，可以根据其定义式：可以得到：，所以得到：Pξ(ω)>0（2）功率谱密度是ω的实

9、函数，这里可以根据其定义式看出：是ω的实函数，所以Pξ(ω)必然为ω的实函数。（3）对于实随机过程来说，功率谱密度是ω的实函数，这里同样可以根据定义式证明。因此有：Pξ(-ω)=Pξ(ω)并且，可定义单边谱密度Pξ1(ω)为：0Pξ1(ω)=（4）对于实随机过程来说，功率谱密度可积，即：根据：可以说明功率谱密度函数曲线下的总面积（即随机过程的全部功率）等于过程的均方值。由于平稳随机过程均方值是有限的，因此功率谱密度可积。例3：某随机相位余弦波，其中A和ω0均为常数，是在(0,2π)内均匀分布的随机变量。求ξ(t)的自相关函数与功率谱密度。解