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1、第二章矩阵及其运算§1矩阵行矩阵（行向量)，列矩阵（列向量)，n阶矩阵(n阶方阵).定义1由m×n个数aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)实矩阵称为m×n矩阵.排成的m行n列数表,记成例1（价格矩阵）四种商品在三家商店中，单位量的售价这里的行表示商店，列表示商品．aij表示每生产一万元第j类产品需要消耗的第a23=0.20就表示每生产一万元第3类产品需要消耗掉0.20万元例2（投入—产出矩阵）设某地区有3个经济部门，假定每个（以某种货币单位计）可以用以下矩阵表示：部门只生产一类产品，每个部门生产
2、的产品与消耗的商品都用货币来表示,i类产品的价值．的第2类产品的价值．例３（通路矩阵）甲省两个城市s1,s2与乙省三个城市t1,t2,s1s2t1t2t341322每条线上的数字表示连接该两s1s2t1t2t3同型矩阵.矩阵A与B相等,记成A=B.零矩阵,记成0.城市的不同通路的总数．以由此得到的通路信息，可用矩阵表示为：t3的交通连接情况如下图所示，§2矩阵的运算一矩阵的加法定义2设A=(aij),B=(bij)都是m×n矩阵,矩阵A与B的和例1记成A+B,规定为矩阵的加法运算满足规律2.(A+B)+C=
3、A+(B+C)(结合律)3.A+0=A4.设A=(aij),记–A=(−aij),规定A−B=A+(−B)二数与矩阵的乘法定义3规定为称–A为A的负矩阵,1.A+B=B+A(交换律)易知A+(−A)=0例2若那么3A=A3数乘矩阵的运算满足规律：A,B为矩阵.三矩阵与矩阵的乘法定义4设A=(aij)是一个m×s矩阵,B=(bij)是一个s×nA与B的乘积记成AB，即C=AB.规定A与B的积为一个m×n矩阵C=(cij)，其中AB=ABm×ss×nm×n矩阵,例3例4例5例6一般来说，AB≠BA,若矩阵A、B
4、满足AB=0,n阶矩阵称为单位矩阵.如果A为m×n矩阵，那么即矩阵的乘法不满足交换律.未必有A=0或B=0的结论.n阶矩阵称为对角矩阵.两个对角矩阵的和是对角矩阵，两个对角矩阵的积也是对角矩阵.矩阵的乘法满足下述运算规律解1解2矩阵的幂A是一个n阶矩阵,k是一个正整数,规定矩阵的幂满足规律其中k,l为正整数.对于两个n阶矩阵A与B，一般说例8解一解二例10已知线性方程组如果记那么上述线性方程组可记成于是四矩阵的转置定义5将矩阵A的各行变成同序数的列得到的矩阵称为A矩阵的转置满足下述运算规律记为AT.的转置矩
5、阵,解一因为所以解二矩阵A称为对称矩阵，容易知道,A=(aij)n×n是对称矩阵的充要条件是例13如果A是一个n阶矩阵，那么，A+AＴ是对称矩阵．i,j=1,2,……,n.矩阵A称为反对称矩阵，如果AT=A.如果AT=−A.矩阵A=(aij)n×n是反对称矩阵的充要条件是aij=−aji,证因为A−AＴ是反对称矩阵．所以A+AＴ是对称矩阵．aij=aji,i,j=1,2,……,n.因为所以A−AＴ是反对称矩阵．例14设A为m×n矩阵,证由矩阵的乘法可知AAＴ是m阶的.所以AAＴ是对称矩阵.1.证明H为对称矩
6、阵.1.证因为所以H为对称矩阵.因为2.计算H2.=E.方阵的行列式运算满足下述规律，例16设A是n阶矩阵，称为矩阵A的伴随矩阵.式Aij所构成的矩阵五方阵的行列式定义6由n阶矩阵A的元素（按原来的位置）构成的行列式，称为方阵A的行列式,证明由行列式
7、A
8、的各元素的代数余子那么于是2.设A为3阶矩阵,那么于是先就3阶矩阵给出证明.证设于是有因此同理可证，=0=0=0证设A=(aij)n×n,也就是于是有因此同理可证，§3逆矩阵定义7设A是n阶矩阵，如果有n阶矩阵B，使如果矩阵A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的
9、，记其为A-1.定理1若矩阵A是可逆的，证因为A可逆，定理2若
10、A
11、≠0，则A可逆,且则称A是可逆矩阵，且称B为A的逆矩阵.AB=BA=E即有A-1使AA-1=E.所以
12、A
13、≠0.则
14、A
15、≠0.证由§2的例16可知根据逆矩阵的定义，即有所以有因为
16、A
17、≠0，设A是n阶矩阵，如果
18、A
19、≠0,那么A称为非奇异矩阵.A是可逆矩阵的充分必要条件是
20、A
21、≠0．A是可逆矩阵的充分必要条件是A为非奇异的．例1判断下列矩阵是否为可逆矩阵？推论设A,B都为n阶矩阵,于是则A为可逆矩阵，若AB=E（或BA=E），所以
22、A
23、≠0
24、，解因为所以A为可逆矩阵，B是不可逆矩阵．证因为
25、A
26、
27、B
28、=
29、AB
30、=
31、E
32、=1,例2因为所以方阵的逆矩阵满足下述运算规律：因为因为3.设A,B为同阶可逆矩阵,则AB也可逆，且3.设A,B为同阶可逆矩阵,例3求矩阵的逆矩阵.解由知A的逆矩阵A-1存在.4.设A为可逆矩阵,因为再由得例4已知求矩阵X满足AX=C.解由例3知A-1存在，于是得X=A-1C，即§4矩阵的分块法子块用分块法计算矩阵A与B的乘积,左矩阵A
