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《GCT数学线性代数(讲义)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、GCT数学.线性代数部分第一讲 行列式一.行列式的定义l一阶行列式定义为l二阶行列式定义为l在阶行列式中，划去元素所在的第行第列，剩余元素构成阶行列式，称为元素的余子式，记作．l令，称为的代数余子式．l阶行列式定义为 ． 二.行列式的性质1.行列式中行列互换，其值不变．2.行列式中两行对换，其值变号．–3.行列式中如果某行元素有公因子，可以将公因子提到行列式外．4.行列式中如果有一行每个元素都由两个数之和组成，行列式可以拆成两个行列式的和．由以上四条性质，还能推出下面几条性质5.行列式中如果有两行元素对应
2、相等，则行列式的值为０．6.行列式中如果有两行元素对应成比例，则行列式的值为０．7.行列式中如果有一行元素全为０，则行列式的值为０．8.行列式中某行元素的倍加到另一行，其值不变．三.阶行列式展开性质等于它的任意一行的各元素与其对应代数余子式的乘积的和，即 l按列展开定理 l阶行列式的某一行的各元素与另一行对应元素的代数余子式的乘积的和等于零．即 l按列展开的性质 四.特殊行列式l;l上（下）三角行列式和上面的对角行列式的结果相同.五.计算行列式l消零降阶法.l消为特殊行列式（上（
3、下）三角行列式或和对角行列式）..典型习题1.=（）。（）2.设的代数余子式，则=（）A－2B－1C-１D ２ （Ａ）3. 中的系数是（）A－2B－1C １D ２ （Ｄ）4. 的常数项为（）．A4B2C １D 0（D）5．设，则=（）A4B2C １D 0（C）6．（）A4BC D (B)7．，则（）()A.或B.C.D.且(A)8.设则A.2MB.－2MC. 8MD. -8M(C)9.的根的个数是（）A.0B.1C.2D.3(B)10的根的个数是（）A.B.C.D
4、.(C)11.设是方程的三个根,则行列式()。A.0B.1C.-4D.2(A)第二讲矩阵一.矩阵概念和运算1.矩阵的定义和相等.2.加法,数乘,乘法,转置,方阵的幂乘的定义及性质.l尤其是矩阵乘法不满足交换律和消去律.满足结合律,左(右)乘分配律等.l若是阶方阵,则l特殊方阵：上（下）三角阵，对角阵，单位阵。3.逆矩阵定义：都是阶方阵，满足，则称是的逆矩阵。记.l可逆l公式：l可逆矩阵的运算性质4.伴随矩阵l定义：l基本关系式：l与逆矩阵的关系：l行列式：l秩：5．矩阵方程l设是阶方阵，是矩阵，若可逆，则矩阵方程有解，
5、其解为l设是阶方阵，是矩阵，若可逆，则矩阵方程有解，其解为二.初等变换l矩阵的初等行（列）变换：（１）交换两行（列）；（２）用一个非零常数乘某一行（列）；（３）某行（列）的倍加到另一行（列）上．l(初等行变换)三.矩阵的秩1.定义l在矩阵中，任取行列，位于这行列交叉处的个元素按其原来的次序组成一个阶行列式，称为矩阵的一个阶子式．l若矩阵中有一个阶子式不为零，而所有阶子式全为零，则称矩阵的秩为。矩阵的秩记作．l显然有中有一个阶子式不为零；中所有阶子式全为零．对于阶方阵，对于阶方阵，若，则称是满秩方阵．2.重要定理对矩阵施
6、行初等变换不改变矩阵的秩．3.矩阵的秩的求法l阶梯形矩阵满足以下条件的矩阵称为阶梯形：（１）所有零行都在矩阵的底部；（２）非零行的第一个元素称为主元，每个主元在前一行主元的右方；l(初等变换)阶梯形,则中主元的个数4.矩阵的秩有以下一些常用的性质：l．.l．ll若，则，其中为矩阵的列数．l若可逆，则．若可逆，则．典型习题１．都是阶阵,则下列结论不正确的是()A.B.C.D.(A)2.，且，求， ．(-108,32/3)3．,则()4.设则中第3行第2列的元素是A.B.C.1D.(B)5．.，则（）（）6.都是阶阵,.则
7、下列结论正确的是()A.B.或C.D.(B)7．设.则下列结论不正确的是() A．可逆.B.不可逆.C.可逆D.可逆 (B)8.设，则()9．是的伴随矩阵,,则的第三行的行向量是（）.A.B.C.D.(C)10．，则（）。(B)A.2B..1C.3D.011．设，（）时。(A)A.-3B.-2C.1D.312.设则().(D)A.B.C.D.13．设则（）。(C)A.3B..2C.1D.014．设,三阶矩阵,且满足,则().A.B.C.D.(A)第三讲向量一.向量组线性相关与线性无关1.向量组的线性组合与线性表示l
8、设是维向量，是数，则称为向量的一个线性组合．l若,称可由线性表出．l称为向量的长度。若，则称为单位向量。向量组：,,称为一组基本单位向量。２．线性相关与线性无关定义设是维向量，若存在不全为零的数，使得 ，则称线性相关．否则称线性无关．定理若线性无关，而线性相关,则可由 线性表出,，且表示法惟一．判断l设是维向量,线性相关<存在某个
