2021届浙江省湖州中学高三上学期第二次质检数学试题.docx

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1、2021届浙江省湖州中学高三上学期第二次质检数学试题一、选择题：每小题4分，共40分1.若集合，，则（）A.B.C.D.2.双曲线的焦点坐标是（）A.B.C.D.3.已知为虚数单位，且，则（）A.B.C.D.4.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积是（）A.B.C.D.5.若，则的值是（）A.B.C.D.6.若，则“”是“函数在区间上单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.把函数的图象向左平移单位后得到函数的图象，再把函数的图象上每一点的横坐标缩小到原来的一半（

2、纵坐标保持不变），则所得函数图象的一条对称轴方程为（）A.B.C.D.8.已知数列满足，且对任意都有，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.9.已知正数，满足，则的最小值是（）A.B.C.D.10.已知数列满足，.若恒成立，则实数的最大值是（）（选项中为自然对数的底数，大约为）A.B.C.D.二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11.已知函数，则的最小正周期是_______，其图象在区间上的对称中心的坐标是_______.12.已知公差为的等差数列的前项和为.若，，是方程，的两实数根，则当_______时，最大；的取值范围是_______.1

3、3.锐角中，是边上一点，且，，.若，则_______，的面积是_______.14.已知函数在，上单调，其图象经过点，且有一条对称轴为直线，则的最大值是_______.15.已知为椭圆上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别是，，则的最小值为_______.16.已知平面向量，不共线，且，，记与的夹角是，则最大时，_______.17.已知数列各项都是正数，且，若是递增数列，则的取值范围是_______.若，，且，则整数_______.三、解答题：5小题，共74分18.（本题满分14分）在锐角中，角，，的对边分别是，，.已知，.（Ⅰ）求角的值；（

4、Ⅱ）求函数，的值域.19.（本题满分15分）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，，.在锐角中，是边上一点，且.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若与平面所成角的正弦值是，求的长.20.（本题满分15分）已知是正项数列的前项和，，.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）证明：.21.（本题满分15分）如图，抛物线，其中，是过抛物线焦点的两条弦，且，记，的面积分别为，.（Ⅰ）当直线，关于轴对称时，求的值；（Ⅱ）求的最小值.22.（本题满分15分）设函数，.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）当时，求证：对于任意的，均有；（Ⅲ）若存在，使得当时，恒有，试求实数的取值范围2020

5、学年湖州中学高三（上）第二次质检一、选择题：每小题4分，共40分12345678910BDBCDBADBD4.二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11.（1）；（2）.12.（1）；（2）.13.（1）；（2）.14.3.15..16..17.（1）；218.解（I）由正弦定理得：，所以，又为锐角三角形，所以；（Ⅱ）因为，所以，，则.19.解（I）连接，交于，连接，因为，所以，又，所以，于是，而平面，平面，所以平面；（Ⅱ）方法一：由已知得：，，，所以平面，过，垂足为，连接，于是平面，所以为与平面所成的角，，而，所以，，，所以.方法二：空间向量

6、建立空间直角坐标系，如图所示，，，，，设，，因为，所以，则，，①，，设平面的一个法向量为，，取，则，，解得，将其代入①得，.20.解：（Ⅰ）当时，，所以即所以数列是等差数列，其中首项为1，公差为1，于是，（时也符合）（Ⅱ）所以.方法二：数学归纳法直接证明是证不出来的，需要添加项，比如证明：（添项不唯一），当时，，，成立；假设当时，，那么当时，，只要证明：成立等价于等价于等价于等价于（显然成立）所以原命题成立.于是.21.解：（Ⅰ）方法一：传统解析法不妨设的斜率为负数，其中在第二象限，当直线，关于轴对称时，则，的斜率分别为-1、1，直线的方程，联立方

7、程，，，根据对称性，则，所以、，所以；方法二：参数方程设直线方程为，联立方程得：，所以，，故，.（Ⅱ）方法一：点参法易得，；，；设，，从而有，，，，于是，即，，所以，同理有所以当且仅当时取等号.方法二：极坐标设的倾斜角为，则，，因为，于是，所以（当且仅当时取等号）.22.解：（Ⅰ）显然函数的定义域为，，，，所以函数的单调增区间为，减区间为；（Ⅱ）方法一：当时，，，所以在，于是，即当时，求证：对于任意的，均有；方法二：由得，令得：所以：.（Ⅲ）（1）由（Ⅱ）知道，当时，，不合题意；（2）当时，，则，此时，于是，即恒成立，不合题意；（3）当时，记，令，

8、注意与符号相同，当时，，，当时，，于是恒有，综上所述：实数的取值范围.方法二：由.令得：构造函数这里没有仔细写完，……所以