归一方见本质.doc

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1、文档归一方见本质某某：__________指导：__________日期：__________16/16文档师者首在传道，那么道在何处？老子说：道生一，一生二，二生三，三生万物。可见道在万物之中，我们只能从万物的现象之中感悟道，这是一种逆向追溯的过程。老子又说：为学日益，为道日损。可知求道是做减法，繁华落尽，去伪存真，万物归为一合于道，这是一个舍而后得的过程。学习者在“为学”的同时不要忘了“为道”，为学是手段，为道是目的。为道不为学，便如盲人摸大象，越学越糊涂，为道不为学，亦是空中建楼阁，无有着力处。如

2、何求道呢？君子务本，本立而道生。比如生物体的外在性状千差万别难以尽知，而决定它的是细胞的基因结构，若能破解基因密码，则生物界的一切问题便可迎刃而解。数学的核心是抽象概括和逻辑推理，培养和训练这两种能力是数学学习的根本。我们无论在知识教学还是解题训练中，都要寻找规律追溯源头，归一以求其本。知识寻根例1.AB=m，AC=n（mn），则BC的最大值是_______________________，最小值是_______________________.16/16文档（1）用三角形三边关系得：m-n≤BC≤m+

3、n（三边共线时取等号），所以最大值为m+n，最小值为m-n。（2）用点到圆的路径关系得：C在圆A上，当直线BC过圆心时，BC分别为最大值m+n，最小值m-n。若追问：“以上结论的依据是什么？”很可能不少学生回答不了！而以上两种结论的源头是最简单的基本事实：“两点之间，线段最短。”图中，在B、C两点之间，有BC≤m+n；在A、B两点之间，有m≤BC+n。方法归一例2.如图，PM=1，BM=2，∠BPC=90°，PB=PC，求CM的最小值。16/16文档由例1，我们可以有两种思路：（1）把CM置于有两条定长

4、边的三角形中；（2）M看成定点，确定动点C的轨迹。那么如何构造模型呢？这里利用等腰直角三角形为媒介，通过旋转缩放把已知和未知建立联系。如下图，构造等腰直角三角形BMN，得△CBN∽△PBM，相似比为√2：△CMN中，MN=2，=√2，CM最小值为2-√2。这里M、N为定点，为定长，同时可以看成C的轨迹是圆N，转化为求点M到圆N的最短路径：16/16文档上述构造为什么可以一箭双雕？因为这两种方式同根同源，都可以归结为点到点的最短路径。构造方法还有以下五种：16/16文档以上都用同一种构造方式：旋转缩放（一

5、转成双），达到了同一种效果：出现含两条定长边的三角形。所以这种方法的本质是：通过相似（全等）变换使条件集中到同一个三角形中。条件情境是：有一个确定形状的三角形（等腰直角三角形BCP），有一个点到该三角形其中两点距离一定（点M）。由此推广：等腰直角三角形可以变为其它任意确定形状的三角形，解法不变。变换转化16/16文档例3.如图，AB=4，l我们可以通过构造把问题转化成与例2同样的问题，如下图，倍长BP，构造等腰直角三角形BCE，这样有：AE=2，AB=4，点A到等腰直角三角形BCE的其中两点距离一定。此

6、图中，P、M就可以删除了，这样与例2的图形结构及条件情境完全相同，同样产生六种构图方式：16/16文档16/16文档上面的做法可以从中点的角度思考：把△BPM以B为中心缩放，构造“A形”相似，即可把定长线段PM放大2倍，得到以下与例2同样的模型：16/16文档简化：我们用类比或对称的思维思考：把△ABC以B为中心缩放，构造“A形”相似，即可把所求线段AC缩小一半，也可以得到以下与例2同样的模型：16/16文档简化（转化为求ME的最小值）：同样可以有六种构造方式，不再赘述。一以贯之例4.如图，正方形BEF

7、G的顶点F在正方形ABCD的边CD上，AB=4，求AF的最小值。16/16文档我们可以把图形简化：16/16文档与例2比较，这里仍有一个形状确定大小不确定的等腰直角三角形BEF，点A到B距离一定，到另一点E所在直线的距离一定（不同点）。这里的不同之处从轨迹角度看，例2是点到点的距离为定值，此题是点到线的距离一定，用主从联动规律判断，一个轨迹是圆，一个轨迹是线。解决方法仍是类似的：构造一转成双模型。构造等腰直角三角形BDP，可证△BPF∽△BDE，得∠BPE=∠BDE=45°，所以点F的运动路径在射线PF

8、上，当AF⊥PF时最小为6√2。还可以用下列构造方法：16/16文档下图的构造为什么不行呢？16/16文档虽然此图结构看上去与前面相似，实质上违背了一个要点：E点在CD上，所以F点轨迹与CD相关，应把CD上某一定点绕点B顺时针旋转45度构造等腰直角三角形。只要取一个CD上确定的点都可以达到目的，如下图，取CD中点O，构造等腰直角三角形BOP，亦可得∠BPF是定角，证明F点在直线上。16/16文档16/16