研究生课程紊流数学模型结课作业3.docx

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1、4.简述时均方程的定义及其封闭性问题。解：时均方程的定义：紊流运动的实验研究表明，虽然紊流结构十分复杂，但它仍然遵循连续介质的一般动力学规律，因此，雷诺在1886年提出用时均值概念来研究紊流运动。他认为，紊流中任何物理量虽然都随时间和空间而变化，但是任一瞬时的运动仍然符合连续介质流动的特征，流场中任一空间点上应该适用黏性流体运动的基本方程。此外，由于各个物理量都具有某种统计学规律，所以基本方程中任一瞬时物理量都可用平均物理量和脉动物理量之和来代替，并且可以对整个方程进行时间平均运算。雷诺从不可压缩流体的连续性方程和N-S方程，导出紊流平均运动的连续性方程和动量方程（即雷诺方程）。随后，人们引用

2、时均值概念又导出了紊流平均运动的能量方程和紊动动能方程等，并且把它们推广到可压缩流体中，从而形成了目前广泛使用的一种经典紊流理论。时均方程的封闭性问题：推导的时均流物理量的方程都是精确方程，因为推导过程中未作任何近似假设。但这些方程不再构成封闭的方程组：由于方程（1）（2）的非线性，对时间平均的过程引入了未知的脉动速度相关和速度-标量脉动相关。从物理意义分析，这两个相关如乘以密度，就分别表示紊动产生的动量输运和热（或物质）的输运。是方向的动量沿方向的输运或方向的动量沿方向的输运，对于流体的作用与应力相同，故被称为紊动应力或雷诺应力；是标量沿方向的输运，即紊动热（或物质）通量。在大多数流动区域中

3、，紊动应力和紊动通量比层流的应力和层流的通量大得多，因而可忽略层流应力和层流通量。为了求解方程（5-18）至方程（5-20），得出速度、压力和温度（或浓度）的时均值，就必须确定紊动相关项和，这正是紊流计算的症结所在。为了封闭前面所得的方程组，比较切实可行的办法是引入紊流模型，用较低阶的相关或时均流的变量近似地表示一定阶数的相关。紊流模型描述紊动输运的规律，用以模拟实际紊流的时均性质。紊流模型表示为微分方程或代数方程，这些方程与时均流方程（5-18）至（5-20）联立，组成封闭的方程组，便可求解紊流的速度场、压力场、温度场、浓度场。5.用k方程模型理论证明混合长模型理论的缺陷。解：在k方程，如果

4、变化率项、对流输运项、扩散输运项均可忽略不计，则k的产生等于k的耗散，这样的紊动被称为处于当地平衡状态。对于无浮力的剪切层，k方程变为；将上式代入柯莫哥洛夫-普朗特表达式，消去k，可得：这是方程中引入的混合长公式，因为可将混合长视作乘以长度比尺L。这一推导清楚地表明，混合长模型只适合于紊动处于当地平稳状态的水流。（1）混合长假设忽略了紊动量的扩散输运由公式知，一旦速度梯度为零，和便相应为零。这与实际情况相悖。例如在管路和渠道水流中，中心线上为零，但的数值不为零，只比的最大值小20％左右。幸运的是，中心线上的剪应力恰好为零，所以这种谬误对流场的计算影响不大。但在热输运计算中，中心线上值取零就会导

5、致十分荒谬的结果，例如当热量从渠道的一侧传到另一侧时，如果中心线上为零，渠道的另一侧就永远得不到热量。事实上，在管路、明渠的水流中，紊流主要产生在近壁区，热量是通过紊动的扩散作用被输运到中心线。混合长假设忽略了扩散输运，因而错误地认为在中心线得不到紊动。（2）混合长假设忽略了紊动量的对流输运网格后的均匀流，是均匀紊流的典型例子。网格的存在使得紊流在网格后形成尾迹，紊动由时均流的对流输运输送到下游，在下游形成均匀紊流。这种情况下，下游区域的时均流的流速均匀，若按混合长假设，应得出，从而得出下游无紊动的错误结论。究其根源，是因为混合长假设中忽略了对流输运。(3)混合长模型缺少通用性混合长模型对于不

6、同类型的水流需采用不同的经验常数，这是混合长理论中忽略了紊动量的扩散输运和对流输运的必然结果。混合长假设的要害，是将紊动处理为没有时间积累、没有空间输运，就地产生，就地消亡的当地平衡状态，这当然就会限制混合长假设的使用范围。6.简述紊流模型的分类，各自的优缺点及适用性。解：紊流模型可定义为一组方程（代数方程或微分方程），这组方程能确定时均流方程中的紊动输运项，从而封闭时均流方程组。根据紊流模型采用的微分输运方程的个数，将紊流模型划分为:零方程模型、单方程模型、二方程模型和多方程模型。零方程模型：普朗特在1925年提出的混合长假设，是第一个描述紊动粘性系数分布的紊流模型，亦堪称为第一个比较适宜的

7、紊流模型。普朗特受到气体运动理论的启发，假设紊动粘性系数正比于时均速度和混合长。混合长按照以下方式进行定义：设一流体团块，以其原有的时均流速运动，由于紊动，该团块在横向由位移到。在点，团块原有速度与周围介质时均速度之差为；如果在点的平均横向脉动速度恰好为，则距离定义为混合长。对于剪力层，只有一个起主导作用的紊动应力和速度梯度，普朗特认为等于时均速度的梯度和混合长的乘积：。据此，并设比例常数为1，可