利用洛必达法则来处理高考中恒成立问题.doc

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1、.导数结合洛必达法则巧解高考压轴题法则1若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)及；(2)在点a的去心邻域，f(x)与g(x)可导且g'(x)≠0；(3)，那么=。法则2若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)及；(2)，f(x)和g(x)在与上可导，且g'(x)≠0；(3)，那么=。法则3若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)及；(2)在点a的去心邻域，f(x)与g(x)可导且g'(x)≠0；(3)，那么=。利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：1.将上面公式

2、中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，，洛必达法则也成立。2.洛必达法则可处理，，，，，，型。3.在着手求极限以前，首先要检查是否满足，，，，，，型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。4.若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。.二．高考题处理1.(2010年全国新课标理)设函数。（1）若，求的单调区间；（2）若当时，求的取值围解:（II）当时，，对任意实数a,均在；当时，等价于令(x>0),则，令，

3、则，，知在上为增函数，；知在上为增函数，；，g(x)在上为增函数。由洛必达法则知，，故综上，知a的取值围为。2．（2011年全国新课标理）已知函数，曲线在点处的切线方程为。（Ⅰ）求、的值；（Ⅱ）如果当，且时，，求的取值围。解：（II）由题设可得，当时，k<恒成立。令g(x)=(),则，再令()，则，，易知在上为增函数，且；故当时，，当x（1，+）时，；在上为减函数，在上为增函数；故>=0在上为增函数=0当时，，当x（1，+）时，当时，，当x（1，+）时，在上为减函数，在上为增函数.洛必达法则知，即k的取

4、值围为（-，0]3.已知函数f(x)=x－(1+a)lnx在x=1时，存在极值。（1）数a的值；（2）若x>1，mlnx>成立,求正实数m的取值围解：=g（x）=令h(x)=令则，令M（x）=r(x)，<0,则，r(x)为减，且r(1)=0,则h（x）为减，且h(1)=0,则g(x)为减，这样，g(x)

5、0时，f(x)1+,恒成立，数a的取值围。解：分离变量：a=h(x),去导数，=（x>0），分子r(x)=,(x[0,)，扩展定义域]，求导0，可知，r(x)为定义域增函数，而r（x）r(0)=0.所以》0.为增函数。则ah(0)----不存在，罗比达法则可得为1练习1.2006年全国2理设函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，数a的取值围．.1.2006全国1理已知函数.（Ⅰ）设，讨论的单调性；（Ⅱ）若对任意恒有，求的取值围.2.2007全国1理3.设函数．

6、（Ⅰ）证明：的导数；（Ⅱ）若对所有都有，求的取值围．4.2008全国2理设函数．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）如果对任何，都有，求的取值围．解：（Ⅰ）．当（）时，，即；当（）时，，即．因此在每一个区间（）是增函数，在每一个区间（）是减函数解：（Ⅰ）略（Ⅱ）应用洛必达法则和导数若，则；若，则等价于，即则.记，.而.另一方面，当时，，因此1.2008理设函数.⑴求的单调区间和极值;⑵是否存在实数,使得关于的不等式的解集为?若存在,求的取值围;若不存在,试说明理由.7．2010新课标理设函数=.（Ⅰ）若，求的单调

7、区间;（Ⅱ）若当x≥0时≥0，求a的取值围.8.2010新课标文已知函数.（Ⅰ）若在时有极值，求函数的解析式；（Ⅱ）当时，，求的取值围.解：（Ⅰ）略（Ⅱ）应用洛必达法则和导数当时，，即.①当时，；②当时，等价于，也即.记，，则..记，，则，因此在上单调递增，且，所以，从而在上单调递增.由洛必达法则有，即当时，所以，即有.综上所述，当，时，成立.9.2010全国大纲理设函数.（Ⅰ）证明：当时，；（Ⅱ）设当时，，求的取值围.解：（Ⅰ）略（Ⅱ）应用洛必达法则和导数由题设，此时.①当时，若，则，不成立；②当时，

8、当时，，即；若，则；若，则等价于，即.记，则.记，则，.因此，在上单调递增，且，所以，即在上单调递增，且，所以.因此，所以在上单调递增.由洛必达法则有.，即当时，，即有，所以.综上所述，的取值围是.10.2011新课标理已知函数，曲线在点处的切线方程为.（Ⅰ）求、的值；（Ⅱ）如果当，且时，，求的取值围.押题若不等式对于恒成立，求的取值围.解：应用洛必达法则和导数当时，原不等式等价于.记，则.记，则.因为，，所以在上单调递减，且，所以在上单调