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1、§1引言第6章解线性代数方程组的迭代法考虑线性方程组也就是AX=b.(1.1)低阶稠密的线性方程组用直接法(如高斯消去法和三角分解法)。大型稀疏非带状的线性方程组(n很大,且零元素很多.如偏微方程数值解产生的线性方程组,n≥104)的求解问题？零元素多，适合用迭代法。我们将介绍迭代法的一般理论及雅可比迭代法、高斯—塞德尔迭代法、超松弛迭代法，研究它们的收敛性。例1求解线性方程组记为Ax=b,即精确解x*=(3,2,1)T.改写(1.2)为或写为x=B0x+f,即任取初值,如x(0)=(0,0,0)T,代入(1.
2、3)得到x(1)=(2.5,3,3)T.反复迭代即x(k+1)=B0x(k)+f，(k=0,1,2,…)证明由第5章定理18，对一切k有ρ(B)=[ρ(Bk)]1/k≦‖Bk‖1/k.另一方面对任意ε>0,记Bε=[ρ(B)+ε]-1B,显然由ρ(Bε)<1.由定理3有所以存在正整数N=N(ε),使K>N时，即k>N时有由ε任意性即得定理结论证明充分性.设ρ(B)<1，易知Ax=f（其中A=I-B）有唯一解，记为x*,则x*=Bx*+f,误差向量ε(k)=x(k)-x*=Bkε(0),ε(0)=x(0)-x*.
3、由设ρ(B)<1，应用定理3，有于是对于任意x(0)有必要性.设对任意x(0)有其中x(k+1)=Bx(k)+f.显然，极限x*是线性方程组（1.7）的解，且对任意x(0)有ε(k)=x(k)-x*=Bkε(0)→0（k→∞）.由定理2知再由定理3，即得ρ(B)<1.例3,考察线性方程组给出的迭代法的收敛性。解先求迭代矩阵B0的特征值。由特征方程例4，考察用迭代法解线性方程组的收敛性，其中解特征方程为这说明用迭代法解此方程组不收敛。迭代法的基本定理是在理论上是重要的，由于ρ(B)<‖B‖，下面利用矩阵B的范数建
4、立判别迭代法收敛的充分条件定理6（迭代法收敛的充分条件）设有线性方程组x=Bx+f,B∈Rn×n,及一阶定常迭代法x(k+1)=Bx(k)+f.如果有B的某种算子范数‖B‖=q<1,则证明（1）由基本定理知，结论（1）是显然的。（2）显然由关系式x*-x(k+1)=B(x*-x(k))及x(k+1)-x(k)=B(x(k)-x(k-1)).于是有①‖x(k+1)-x(k)‖≤q‖x(k)-x(k-1)‖;②‖x*-x(k+1)‖≤q‖x*-x(k)‖.反复利用②可得（2）.（3）考查‖x(k+1)-x(k)‖≤
5、‖x*-x(k)-（x*-x(k+1))‖≥‖x*-x(k)‖-‖x*-x(k+1)‖≥(1-q)‖x*-x(k)‖,即有（4）反复利用①，则可得到（4）注意定理6只给出迭代法收敛的一个充分条件，即使条件
6、
7、B
8、
9、<1对任何常用范数均不成立，迭代序列仍肯收敛。因为，故，由两边取对数得即它表明迭代次数k与成反比。（1.12）可用作为迭代法（1.11）式所需的迭代次数的估计。例如在例1中迭代矩阵B的谱半。若要求，则由（1.13）式知于是有即k=12即可达到要求。§2基本迭代法考虑线性方程组也就是Ax=b.(2.1)
10、进行矩阵分裂A=M-N,(2.2)其中M为可选择的非奇异矩阵,且使Mx=d容易求解.于是,Ax=b⇔x=M-1Nx+M-1b.可得一阶定常迭代法:一、雅可比迭代法可以得到计算公式(雅可比迭代法)：对k=0,1,…,例用雅可比迭代法解下列方程组解将方程组写成等价形式取初始值x(0)=0,按迭代公式表3―1二、高斯—塞德尔迭代法还可得到迭代计算公式：对k=0,1,…,称为高斯—塞德尔迭代法.例2用高斯-赛德尔迭代法求解线性方程组取初值x(0)=(0,0,0)T,用高斯-赛德尔迭代法有高斯—塞德尔迭代法又等价于：对k
11、=0,1,…,SOR迭代法的计算公式:对k=0,1,…,三、逐次超松驰(SOR)迭代法说明:1)ω=1,GS;2)运算量主要是计算一次矩阵与向量的乘法;3)ω>1超松驰,ω<1低松驰;4)控制迭代终止的条件:例3用上述迭代法解线性代数方程组解取x(0)=0,迭代公式为1.0221.1171.2121.311（最少迭代次数）1.4141.5171.6231.7331.8531.9109表6-1计算数据1)Jacobi:BJ=D-1(L+U)，fJ=D-1b;2)Gauss-Seidel:BG=(D-L)-1U，f
12、G==(D-L)-1b;3)SOR:BSOR=(D-wL)-1{(1-w)D+wU}，fSOR=w(D-wL)-1b.迭代的统一格式：x(k+1)=Bx(k)+f例5考察用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法求解下列线性方程组的敛散性？定义3（1）按行严格对角占优：（2）按行弱对角占优：上式至少有一个不等号严格成立。二、某些特殊方程组的迭代收敛性定理6(对角占优定理)若矩阵A按行(或列)严
