第6章 解线性方程组的迭代法.ppt

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1、第6章解线性方程组的迭代法6.1引言考虑线性方程组（1.1）其中A为非奇异矩阵，当A为低阶稠密矩阵时，第5章所讨论的选主元消去法是有效方法.但对于A的阶数n很大，零元素较多的大型稀疏矩阵方程组，例如求某些偏微分方程数值解所产生的线性方程组来说，利用迭代法求解则更为合适.迭代法通常都可利用A中有大量零元素的特点.从而得到简单迭代格式为例用简单迭代法解方程组方程组的准确解是:把方程组改写成解当k=0时,迭代格式为代入得选取初始迭代向量当k=1时,迭代格式为代入得把使用这种迭代格式，得到迭代结果如下表所示:

2、从表中看到，近似解向量序列收敛，且收敛到准确解。000051.09511.19511.294110.720.830.8461.09831.19831.298020.9711.0701.15071.09441.19981.299331.0571.15711.248281.09981.19981.299741.08531.18531.282891.09991.19991.2999迭代法就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法，其具有需要计算机的存储单元较少、程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中

3、始终不变等优点．由于迭代法是通过逐次迭代来逼近方程组的解的，因此收敛性和收敛速度是构造迭代法时要注意的问题．问题：是否可以构造一种适合于一般情况的迭代法呢？一般如何构造迭代法的计算格式呢?设方程组为,将其变形为.由此构造下面迭代格式:对于给定方程组，设有惟一解，（1.3）又设为任取的初始向量，按上述迭代格式可构造向量序列（1.2）其中表迭代次数.则定义1:(2)如果存在(记为)，显然就是方程组的解，否则称此迭代法发散.(1)对于给定的方程组逐步代入求近似解的方法称为迭代法(或称为一阶定常迭代法，这里与

4、无关).用公式(1.2)称此迭代法收敛，构造迭代格式(1)显然迭代格式(1)对任何的初始向量，得到的序列都不收敛.如对方程组,构造迭代格式(2)-4.000-3.999-3.997-3.993…-3.750-3.334-2.5000-3.000-2.999-2.998-2.994…-2.778-2.500-1.700010987…3210k此例说明:的收敛性于迭代格式有关.6.2基本迭代法设有（2.1）其中，为非奇异矩阵.将分裂为（2.2）其中，为可选择的非奇异矩阵，且使容易求解，一般选择为的某种近似

5、，称为分裂矩阵.于是，求解转化为求解，即求解可构造一阶定常迭代法（2.3）其中称为迭代法的迭代矩阵.选取阵，就得到解的各种迭代法.设,并将写为三部分：（2.4）6.2.1雅可比迭代法由，选取为的对角元素部分，即选取(对角阵)，，（2.5）其中称为解的雅可比迭代法的迭代阵.解的雅可比(Jacobi)迭代法由(2.3)式得到1矩阵形式研究雅可比迭代法(2.5)的分量计算公式.记由雅可比迭代公式(2.5),有或于是，解的雅可比迭代法的分量计算公式为（2.6）由(2.6)式可知，雅可比迭代法计算公式简单，

6、每迭代一次只需计算一次矩阵和向量的乘法且计算过程中原始矩阵始终不变.把项留在左边,其它项移到右边得到n阶线性代数方程组:设第i个方程两边除得到2方程形式令再令则有则有选取任意初始向量得到一个新向量把它代入(*)式右边按这样做下去就会得到一个向量序列把它代入(*)式右边又得到一个新向量,记为它通常称为简单迭代序列或Jacobi迭代序列.简单迭代序列中的向量可以表示为它称为简单迭代格式或Jacobi迭代格式,称为初始迭代向量,称为简单迭代矩阵或Jacobi迭代矩阵.即有,记为Jacobi迭代法算法②k=1

7、,则打印“求解失败”,停机;否则,对j=1,2,…,n计算④迭代对i=1,2,…,n计算⑤若，输出X,k,停机;否则,做下一步.①输入A,b，初始向量Y，容许误差，容许最大迭代次数M若③形成迭代矩阵B（存放在A中）对i=1,2,…,n循环⑥若k

8、)迭代法1矩阵形式研究高斯-塞德尔迭代法的分量计算公式.由(2.7)式有或即记于是解的高斯-塞德尔迭代法计算公式为（2.8）或（2.9）而由高斯-塞德尔迭代公式可知，雅可比迭代法不使用变量的最新信息计算，计算的第个分量时，利用了已经计算出的最新分量由(2.8)可知，高斯-塞德尔迭代法每迭代一次只需计算一次矩阵与向量的乘法.高斯-塞德尔迭代法可看作雅可比迭代法的一种改进.称为Seidel迭代格式.2方程形式对上面式子归纳得到如下计算公式:从而得到