多项式理论在初等数学中的应用论文

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1、多项式理论在初等数学中的应用毕业论文1判断能否分解因式多项式的因式分解是指在给定的数域上，把一个多项式表示成若干个不可约多项式的乘积.我们知道，一个多项式可能在一个数域上不可约，但在另一数域上可约.例如多项式在有理数域上不可约，因为它不能分解成有理数域上两个一次多项式的乘积，但这个多项式在实数域上可约，因为.因为在初等数学中，我们接触最多的是有理数域上的多项式且多项式次数不超过次，所以本文将在有理数域上对因式分解作进一步探讨.1.1待定系数法按照已知条件把原式假设为若干个因式的乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式

2、恒等，根据恒等原理，建立待定系数的方程组，求出待定系数.例1判断在有理数域上能否分解因式.解令，因为，所以无一次因式.若一个整系数多项式在有理数域上可约，那么总可以分解成次数都小于的两个整数系数多项式的乘积.则可设，其中为整数.即比较等式两端的对应项系数，得由②知或，若，则但；若，则，但，所以不可约.即在有理数域上不能分解因式.1.2艾森斯坦判断法定理1（艾森斯坦判断法）设是一个整系数多项式.若是能够找到一个素数使（i)最高次项系数不能被整除；(ii)其余各项的系数都能被整除；（iii)常数项不能被整除，那么多项式在有理数域上不可约.例2判断在有理数域上能否

3、分解因式.解令，易找到素数，满足上述条件，，，，故在有理数域上不可约.即在有理数域上不能分解因式.艾森斯坦判断法不是对于所有整系数多项式都能应用的，因为满足判断法中条件的素数不一定存在.若是对于某一多项式找不到这样的素数，那么11可能在有理数域上可约，也可能不可约.例如，对于多项式与来说，都找不到一个满足判断法的条件素数，但显然前一个多项式在有理数域上可约，而后一个多项式不可约.虽然有时对于某一多项式来说，艾森斯坦判断法不能直接应用，但是我们可以把适当变形后，就可以应用这个判断法，例如，令得，因为，，，所以在有理数域上不可约.以上通过待定系数法和艾森斯坦判断

4、法，我们就可以知道多项式能否分解因式.2分解因式在初等数学中，我们接触的分解因式常用的方法都比较简便、特殊，如提公因式法，公式法，分组分解法，十字相乘法，拆项法，添项法等，这里我将介绍多项式理论中的三种方法来解决较高次多项式的因式分解问题.2.1综合除法综合除法用以寻找所给整系数多项式的一次因式，有因式的充要条件是，就是的一个根.当是有理数时，可用综合除法试除予以确定.这种方法的依据是：如果整系数多项式有因式（，是互质的整数）则一定是的约数，一定是的约数.具体做法是：（1）先写出整系数多项式的首项系数和常数项的所有因数，然后以的因数为分母，的因数为分子，做出

5、所有可能的既约分数（包括整数），如果有有理根，则必在这些既约分数中，因此它们是可能的试除数.（2）从上述既约分数中合理地选择试除数.首先，1与-1永远在有理数中出现，计算.若，则是的有理根.若有理数是的有理根，则只需对那些使商与都是整数的来进行试除.（假定都不等于零，否则可以用或除而考虑所得的商式.）（3）选好试除数后，即用综合除法试除.例3在有理数域上分解多项式.解这个多项式的最高次项系数的因数是，常数项的因数是.所以可能的有理根是.我们算出，.所以都不是的根.另一方面，由于都不是整数，所以都不是11的根.但都是整数，所以有理数2在试验之列，应用综合除法

6、

7、所以是的一个根，同时我们得到.容易看出，不是的一个重根.从而应用综合除法分解多项式可以使解题思路清晰，解题过程简洁，不易出错，但它必须建立在多项式有有理根的基础上.如果多项式需要试除的因子过多，则每个因子都要进行一次相应的综合除法，这就给计算增加了困难.2.2待定系数法用待定系数法分解因式，首先要根据题设条件，判定原式分解后形成的因式乘积的形式，然后再列方程（组）确定待定系数的值.例4在有理数域上分解多项式.解先用综合除法，可能的试除数是，，试除结果都被排除，因此原式在有理数域上没有一次因式.假定原式含有的二次因式，设①比较等式两端对应项的系数，得方程组上面

8、④的同是原式常数项的因数，因此和的值可能有下面四组.或或或将代入③式得⑤将①、⑤联立，解得.但是不满足②式,因此不是方程的解.将代入③，得⑥11将①、⑥联立，解得.并且满足②，因此是方程组的解.所以待定系数法比较简单，也容易理解，但会涉及到解多个方程组，计算量往往会加大.只有在分解因式前先观察最高次项系数与常数项系数，再找出多项式的所有有理根，才能有效降低待定系数法的难度.2.3分离重因式法设有典型分解式，若,有且不能被整除.利用最大公因式法得.令比较上述有关式子可知.上述意思是若用除以，则得商是一个与具有完全相同的不可约因式而没有重因式的多项式.由此得思想

9、：若将能分解的话，便知的不可约因式，再确定每个不可约