概率二章蓝底.ppt

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1、第二章随机变量第一节随机变量及其分布函数第二节离散型随机变量及其分布第三节连续随机变量及其分布第四节随机变量函数的分布本章主要内容第一节随机变量及其分布函数定义1:注：2.随机变量取值有一定的概率；1.随机变量是定义在样本空间上的一个单值函数；称为随机变量X的分布函数。定义2:设X是一随机变量，x为任意实数，函数我们以大写字母X,Y,Z,W.……表示随机变量,用小写字母x,y,z,w……表示实数.证明：如果一个函数具有上述性质，则一定是某个随机变量X的分布函数.也就是说，性质(1)--(3)是鉴别一个函数是否是某r.v的分布函数的充分必要条件.试说明F(x)能否是某个r.v的分布函数.例1设

2、有函数F(x)解：注意到函数F(x)在上下降，不满足性质(1)，故F(x)不能是分布函数.不满足性质(2)，可见F(x)也不能是r.v的分布函数.或者例2在区间[0，a]上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标.设这个质点落在[0,a]中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，试求X的分布函数.解：设F(x)为X的分布函数，当x<0时，F(x)=P(Xx)=00a当x>a时，F(x)=1当0xa时，P(0Xx)=kx(k为常数)由于P(0Xa)=1ka=1，k=1/a=x/aF(x)=P(Xx)=P(X<0)+P(0Xx)注意右连续例3：口袋里装有3个白球2个红球，从中任取三个球，求取

3、出的三个球中的白球数的分布函数解：设X表示取出的3个球中的白球数。X的可能取值为1，2，3。而且由古典概率可算得于是，X的分布函数为：注意右连续例4:考虑如下试验：在区间[0，1]上任取一点，记录它的坐标X。那么X是一随机变量，根据试验条件可以认为X取到[0，1]上任一点的可能性相同。求X的分布函数。当x<0时解：由几何概率的计算不难求出X的分布函数所以：第二节离散型随机变量及其分布分布律常用表格形式表示如下：Xx1x2…xk…pkp1p2…pk…如果随机变量所有的可能取值为有限个或可列无限多个，则称这种随机变量为离散型随机变量。设离散型随机变量X的可能取值为xk(k=1,2,…),事件发生

4、的概率为pk,即称为随机变量X的概率或分布律。分布律的两条基本性质：说明：1）可由分布律知｛X=xi｝的概率。注：满足（1）（2）的数列{pk}一定是某个随机变量的分布律。2）可由分布律求随机变量X落在区间I上的概率。用这两条性质判断一个数列是否是分布律3）可由分布律求随机变量X的分布函数。（１）确定常数a的值;（２）求Ｘ的分布函数因此解：（１）由分布律的性质知Ｘ０　１　２pa（2）由分布函数计算公式易得Ｘ的分布函数为：由例题可看出离散型随机变量的F(x)的图形是阶梯状的图形例2：设随机变量X的分布律为例3：从1，2，3，4，5个数中任取三个数，以X表示三个数中最大者，求1）X的分布律。2）

5、P{X≤4}解：1）X的可能取值为3，4，5。所以X的分布律为：Ｘ3　4　5p0.60.10.32）P{X≤4}=P{X=3}+P{X=4}=0.1+0.3=0.4两点分布若在一次试验中X只可能取x1或x2两值(x1

6、表示n次试验中A出现的次数。那么由二项概率公式得X的分布律为：即X服从二项分布。（0－1）分布可用b(1，p)表示。即为（0－1）分布（与n重贝努里试验对应）对于固定n及p，当k增大时,概率P(X=k)先是随之增大直至达到最大值,随后单调减少.二项分布的图形特点：X~B(n,p)当(n+1)p不为整数时，二项概率P(X=k)在k=[(n+1)p]达到最大值；([x]表示不超过x的最大整数)n=10,p=0.7nPk当(n+1)p为整数时，二项概率P(X=k)在k=(n+1)p和k=(n+1)p-1处达到最大值.例４：某交互式计算机有10个终端，这些终端被各个单位独立使用，使用率均为0.7，求

7、同时使用的终端不超过半数的概率。在涉及二项分布的概率计算时，直接计算很困难。即存在缺陷：当n很大时，直接计算很麻烦.下面给出n很大，p很小时的计算公式，即二项分布的泊松逼近。解：设X表示10个终端中同时使用的终端数，则X~b(10,0.7)。所求的概率为：泊松定理设λ>0是一常数，n是任意整数，设npn=λ，则对任意一固定的非负整数k，有定理的条件npn=λ，意味着n很大时候pn必定很小。因此当n很大，p很小