现代地理学中的数学方法-(2).ppt

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1、第2节回归分析一元线性回归模型多元线性回归模型非线性回归模型的建立方法一、一元线性回归模型定义：假设有两个地理要素（变量）x和y，x为自变量，y为因变量。则一元线性回归模型的基本结构形式为式中：a和b为待定参数；为各组观测数据的下标；为随机变量。（4.2.1）记和分别为参数a与b的拟合值，则一元线性回归模型为（4.2.2）式代表x与y之间相关关系的拟合直线，称为回归直线；是y的估计值，亦称回归值。（4.2.2）①参数a与b的最小二乘拟合原则要求yi与的误差ei的平方和达到最小，即②根据取极值的必要条件，有（4.2.4）（一）参数a、b的最小二乘

2、估计（4.2.3）（4.2.5）（4.2.6）③解上述正规方程组（4.2.4）式，得到参数a与b的拟合值（二）一元线性回归模型的显著性检验①方法：F检验法。②总的离差平方和：在回归分析中，表示y的n次观测值之间的差异，记为可以证明（4.2.9）（4.2.8）在式（4.2.9）中，Q称为误差平方和，或剩余平方和而称为回归平方和。③统计量F④F越大，模型的效果越佳。统计量F～F（1，n-2）。在显著水平α下，若F>Fα，则认为回归方程效果在此水平下显著。一般地，当F

3、实例例如，在表4.1.2中，把降水量（p）看作因变量，把纬度（y）看作自变量，在平面直角坐标系中作出散点图（图4.2.1），发现它们之间呈线性相关关系，因此，可以用一元线性回归方程近似地描述它们之间的数量关系。图4.2.1散点图：降水量（p）与纬度（y）将样本数据分别代入公式(4.2.5)和(4.2.6)，计算回归系数a和b的拟合值得：故，降水量(p)与纬度(y)之间的回归方程为：（4.2.7）对于回归方程（4.2.7）式，在置信水平α=0.01下查F分布表，可知F0.01(1,51)=7.15。由于F>>F0.01(1,51)，所以回归方程（

4、4.2.7）式在置信水平α=0.01下是显著的。二、多元线性回归模型（一）多元线性回归模型的建立①多元线性回归模型的结构形式为（4.2.11）式中：为待定参数；为随机变量。②回归方程:如果分别为式（4.2.11）中的拟和值，则回归方程为在（4.2.12）式中，b0为常数，b1,b2,…bk称为偏回归系数。偏回归系数的意义是，当其他自变量都固定时,自变量每变化一个单位而使因变量平均改变的数值。（4.2.12）③偏回归系数的推导过程:根据最小二乘法原理，的估计值应该使由求极值的必要条件得方程组（4.2.14）式经展开整理后得：（4.2.13）（4.

5、2.14）方程组（4.2.15）式称为正规方程组。引入矩阵（4.2.15)则正规方程组（4.2.15）式可以进一步写成矩阵形式求解得引入记号(4.2.16)正规方程组也可以写成（二）多元线性回归模型的显著性检验①回归平方和U与剩余平方和Q：②回归平方和③剩余平方和为④F统计量为计算出来F之后，可以查F分布表对模型进行显著性检验。多元线性回归分析实例在表4.1.2中，把降水量(p)看作因变量，把纬度(y)和海拔高度（a）看作自变量，下面我们试建立p与y、a之间的线性回归模型。代入样本数据，得到：套用公式(4.2.16)，进行矩阵运算，得回归系数：

6、由此得到降水量(p)与纬度(y)和海拔高度(a)之间的二元线性回归方程为：(4.2.17)对于二元线性回归方程（4.2.17），计算可得：在置信水平α=0.01上，查F分布表知：F0.01(2,51)=3.18。由于F>>7.21，所以，降水量(p)与纬度(y)和海拔高度(a)之间的回归方程(4.2.17)式是显著的。（一）非线性关系线性化对于指数曲线，令,可以将其转化为直线形式：，其中，；对于对数曲线，令，，可以将其转化为直线形式：；对于幂函数曲线，令，，可以将其转化为直线形式：其中，；三、非线性回归模型的建立方法对于双曲线，令，转化为直线形

7、式：；对于S型曲线，可转化为直线形式：；对于幂乘积，只要令，就可以将其转化为线性形式其中，；对于对数函数和只要令，就可以将其化为线性形式（二）非线性回归模型的应用实例：趋势面分析趋势面分析，是利用数学曲面模拟地理系统要素在空间上的分布及变化趋势的一种数学方法。它实质上是通过回归分析原理，运用最小二乘法拟合一个二维非线性函数，模拟地理要素在空间上的分布规律，展示地理要素在地域空间上的变化趋势。趋势面分析方法常常被用来模拟资源、环境、人口及经济要素在空间上的分布规律，它在空间分析方面具有重要的应用价值。1.趋势面模型的建立趋势面是一种抽象的数学曲面

8、，它抽象并过滤掉了一些局域随机因素的影响，使地理要素的空间分布规律明显化。可见，所谓空间趋势面并不是地理要素的实际分布面，而是一个模拟地理要素空间分布