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1、资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念:zxiy,x,y是实数,xRez,yImz.i21.注:一般两个复数不比较大小,但其模(为实数)有大小.2.复数的表示1)模:zx2y2;2)幅角:在z0时,矢量与x轴正向的夹角,记为Argz(多值函数);主值argz是位于(,]中的幅角。3)argz与arctany之间的关系如下:x当x0,argzarctany;xy0,argzarctany当x0,x;y0,argzarctanyx4)三角表示:zzcosisin,其
2、中argz;注:中间一定是”+”5)指数表示:zzei,其中argz。(二)复数的运算1.加减法:若z1x1iy1,z2x2iy2,则z1z2x1x2iy1y22.乘除法:1)若z1x1iy1,z2x2iy2,则z1z2x1x2y1y2ix2y1x1y2;z1x1iy1x1iy1x2iy2x1x2y1y2iy1x2y2x1。zxiyxiyxiyx2y2x2y222222222222资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。2)若z1i1,z2i2,则z1z2i12;zz1iz1ez2ez1z2e1z2e12z2
3、3.乘幂与方根1）若zz(cosisin)zei,则znn(cosnisinn)nzzein。2）若zz(cosisin)zei,则12k2k(nzzncosisin(k0,1,2n1)有n个相异的nn值)(三)复变函数1．复变函数:wfz,在几何上能够看作把z平面上的一个点集D变到w平面上的一个点集G的映射.2．复初等函数指数函数:ezexcosyisiny,在z平面处处可导,处处解析;且ezez。注:ez是以2i为周期的周期函数。(注意与实函数不同)对数函数:Lnzlnzi(argz
4、2k)(k0,1,2)(多值函数);主值:lnzlnziargz。(单值函数)Lnz的每一个主值分支lnz在除去原点及负实轴的z平面内处处解析,且lnz1;z注:负复数也有对数存在。(与实函数不同)乘幂与幂函数:abebLna(a0);zbebLnz(z0)注:在除去原点及负实轴的z平面内处处解析,且zbbzb1。三角函数:sinzeizeiz,coszeizeiz,tgzsinz,ctgzcosz2i2coszsinz资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。sinz,cosz在z平
5、面内解析,且sinzcosz,coszsinz注:有界性sinz1,cosz1不再成立;(与实函数不同)双曲函数shzezez,chzezez;22shz奇函数,chz是偶函数。shz,chz在z平面内解析shzchz,chzshz。(四)解析函数的概念1．复变函数的导数1)点可导:fz0=lim0fz0zfz0;zz2)区域可导:fz在区域内点点可导。2．解析函数的概念1)点解析:fz在z0及其z0的邻域内可导,称fz在z0点解析;2)区域解析:fz在区域内每一点解析,称fz在区域内解析;3)若f(z)在z0点不解析,称z0为f
6、z的奇点;3．解析函数的运算法则:解析函数的和、差、积、商(除分母为零的点)仍为解析函数;解析函数的复合函数仍为解析函数;(五)函数可导与解析的充要条件1．函数可导的充要条件:fzux,yivx,y在zxiy可导ux,y和vx,y在x,y可微,且在x,y处满足CD条件:uv,uv此时,有fzuiv。xyyxxx2．函数解析的充要条件:fzux,yivx,y在区域内解析资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。ux,y和vx,y在x,y在D内可微,且满足CD条件:uv,uv;xyyx此时fzuiv。xx注意:若u
7、x,y,vx,y在区域D具有一阶连续偏导数,则ux,y,vx,y在区域D内是可微的。因此在使用充要条件证明时,只要能说明u,v具有一阶连续偏导且满足CR条件时,函数f(z)uiv一定是可导或解析的。3．函数可导与解析的判别方法1)利用定义(题目要求用定义,如第二章习题1)2)利用充要条件(函数以fzux,yivx,y形式给出,如第二章习题2)3)利用可导或解析函数的四则运算定理。(函数fz是以z的形式给出,如第二章习题3)(六)复变函数积分的概念与性质1．复变函数积分的概念:fzdznfkzk,c是光滑曲limcn1k线。注:复变
8、函数的积分实际是复平面上的线积分。2．复变函数积分的性质1）fzdzc1fzdz(c1与c的方向相反);c2）[fzgz]dzfzdz,,是常数;cgzdzcc3)若曲线c由12则fzdzfzdzfzdz。c与c连接而成,cc1c2资料内容仅供您学
