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1、复变函数复习重点(一)复数的概念21.复数的概念：zxiy，x,y是实数,xRez,yImz.i1.注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示1）模：22zxy；2）幅角：在z0时，矢量与x轴正向的夹角，记为Argz（多值函数）；主值argz是位于(,]中的幅角。y3）argz与arctan之间的关系如下：xy当x0,argzarctan；xyy0,argzarctanx当x0,；yy0,argzarctanx4）三角表示：zzcosisin，其中argz；注：中间一定是“+”i5）指数表示：zze，其中argz。(二)复数的运算1.加
2、减法：若z1x1iy1,z2x2iy2，则z1z2x1x2iy1y22.乘除法：1）若z1x1iy1,z2x2iy2，则z1z2x1x2y1y2ix2y1x1y2；zxiyxiyxiyxxyyyxyx111112212121221i。2222z2x2iy2x2iy2x2iy2x2y2x2y2i1i2i12z1z1i122）若z1z1e,z2z2e,则z1z2z1z2e；ez2z2-1-3.乘幂与方根innnin1）若zz(cosisin)ze，则zz(cosnisinn)ze。i2）若zz(cosisin)ze，则1n2k2kzzncosisin(k0,1,2
3、Ln1)（有n个相异的值）nn（三）复变函数1．复变函数：wfz，在几何上可以看作把z平面上的一个点集D变到w平面上的一个点集G的映射.2．复初等函数zxzz指数函数：eecosyisiny，在z平面处处可导，处处解析；且ee。z注：e是以2i为周期的周期函数。（注意与实函数不同）对数函数：Lnzlnzi(argz2k)(k0,1,2L)（多值函数）；主值：lnzlnziargz。（单值函数）1Lnz的每一个主值分支lnz在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且lnz；z注：负复数也有对数存在。（与实函数不同）bbLnabbLnz乘幂与幂函数：ae(a0)；z
4、e(z0)bb1注：在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且zbz。izizizizeeeesinzcosz三角函数：sinz,cosz,tgz,ctgz2i2coszsinzsinz,cosz在z平面内解析，且sinzcosz,coszsinz注：有界性sinz1,cosz1不再成立；（与实函数不同）zzzzeeee双曲函数shz,chz；22shz奇函数，chz是偶函数。shz,chz在z平面内解析shzchz,chzshz。（四）解析函数的概念-2-1．复变函数的导数fz0zfz01）点可导：fz0=lim；z0z2）区域可导：fz在区域内点点可导。2．
5、解析函数的概念1）点解析：fz在z0及其z0的邻域内可导，称fz在z0点解析；2）区域解析：fz在区域内每一点解析，称fz在区域内解析；3）若f(z)在z0点不解析，称z0为fz的奇点；3．解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数；（五）函数可导与解析的充要条件1．函数可导的充要条件：fzux,yivx,y在zxiy可导ux,y和vx,y在x,y可微，且在x,y处满足CD条件：uvuvuv,此时，有fzi。xyyxxx2．函数解析的充要条件：fzux,yivx,y在区域内解析ux,y和vx,y在
6、x,y在D内可微，且满足CD条件：uvuv,；xyyxuv此时fzi。xx注意：若ux,y,vx,y在区域D具有一阶连续偏导数，则ux,y,vx,y在区域D内是可微的。因此在使用充要条件证明时，只要能说明u,v具有一阶连续偏导且满足CR条件时，函数f(z)uiv一定是可导或解析的。3．函数可导与解析的判别方法1）利用定义（题目要求用定义，如第二章习题1）-3-2）利用充要条件（函数以fzux,yivx,y形式给出，如第二章习题2）3）利用可导或解析函数的四则运算定理。（函数fz是以z的形式给出，如第二章习题3）（六）复变函数积分的概念与性质n1．复变函数积分的
7、概念：fzdzlimfkzk，c是光滑曲线。cnk1注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。2．复变函数积分的性质11）fzdzfzdz（c与c的方向相反）；1cc2）[fzgz]dzfzdzgzdz,,是常数；ccc3）若曲线c由c1与c2连接而成，则fzdzfzdzfzdz。cc1c23．复变函数积分的一般计算法1）化为线积分：fzdzudxvdyivdxudy；（常用于理论证明）ccc2）参数方法：设曲线c：zzt(t)，其中对应曲线c的起点，对应曲线c的终点，则fzdzf[zt]z(t)dt。c（七）关于复变函数积分的重要定理与结论1．柯西—古萨基本
8、定理：设fz在单连域B内解析，c为B内
