初中数学竞赛专题选讲-配方法(含答案).docx

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1、初中数学竞赛专题[配方法]一、内容提要1.配方：里指的是在代数式恒等形中，把二次三式a2±2ab+b2写成完全平方式（a±b）2.有需要在代数式中添、折、分才能写成完全平方式.常用的有以下三种：①由a2+b2配上2ab，②由2ab配上a2+b2，③由a2±2ab配上b2.2.运用配方法解，初中段主要有：①用完全平方式来因式分解例如：把x4+4因式分解.原式＝x4+4＋4x2－4x2=(x2+2)2－4x2＝⋯⋯是由a2+b2配上2ab.②二次根式化常用公式：a2a，就需要把被开方数写成完全平方式.例如：化526.我把5－26写成2－223

2、＋3＝(2)2－223＋(3)2＝（2－3）2.是由2ab配上a2+b2.-1-③求代数式的最大或最小值，方法之一是运用实数的平方是非负数，零就是最小值.即∵a2≥0，∴当a=0时，a2的值为0是最小值.例如：求代数式a2+2a－2的最值.∵a2+2a－2=a2+2a+1－3=(a+1)2－3当a=－1时,a2+2a－2有最小值－3.这是由a2±2ab配上b2④有一类方程的解是运用几个非负数的和等于零，则每一个非负数都是零，有时就需要配方.例如:：求方程x2+y2+2x-4y+5=0的解x,y.解：方程x2+y2+2x-4y+1＋4＝0.

3、配方的可化为（x+1）2+(y－2)2=0.x10要使等式成立，必须且只需2.y0解得x1y2此外在解二次方程中应用根的判别式，或在证明等式、不等式时，也常要有配方的知识和技巧.-2-二、例题例1.因式分解：a2b2－a2+4ab－b2+1.解：a2b2－a2+4ab－b2+1＝a2b2+2ab+1+(－a2+2ab－b2)（折项，分组）＝（ab+1）2－(a－b)2（配方）＝（ab+1+a-b）(ab+1-a+b)（用平方差公式分解）本题的关鍵是用折项，分组，树立配方的思想.例2.化简下列二次根式：①743；②23；③104322.解：

4、化简的关键是把被开方数配方①743＝42233＝(23)2＝23＝2＋3.②23＝223＝423＝(31)2222＝2(31)＝.6222③104322＝104(21)2＝104（2＋1）＝642＝42222＝-3-(22)2=2－2.=例3.求下列代数式的最大或最小值：①x2+5x+1；②－2x2－6x+1.解：①x2+5x+1＝x2+2×5x+52－25+1`224＝（x+5）2－21.24∵（x+5）2≥0，其中0是最小值.2即当x=5时，x2+5x+1有最小值－21.24②－2x2－6x+1＝－2（x2+3x-1）2=－2(x2+

5、2×3x+99－1)2442＝－2（x+3）2+1122∵－2（x+3）2≤0，其中0是最大值，2∴当x=－3时，－2x2－6x+1有最大值11.22例4.解下列方程：①x4－x2+2xy+y2+1=0；②x2+2xy+6x+2y2+4y+10=0.解：①（x4－2x2＋1）＋（x2+2xy+y2）=0.（折项，分组）(x2－1)2+(x+y)2=0.（配方）-4-根据“几个非负数的和等于零，则每一个非负数都应等于零”.x20得1xy0∴x1,或x1y1y1②x2+2xy+y2+6x+6y+9+y2－2y+1=0.(折项，分组)(x+y)

6、2+6（x+y）+9+y2－2y+1=0.(x+y+3)2+(y－1)2＝0.（配方）∴xy30∴x4y10y1例5.已知：a,b,2222c,d都是整数且m=a+b,n=c+d,则mn也可以表示为两个整数的平方和，试写出其形式.解：mn=(a2+b2)(c2+d2)=a2c2++a2d2+b2c2+b2d2=a2c2+b2d2+2abcd+a2d2+b2c2－2abcd(分组，添项)=(ac+bd)2+(ad-bc)2例6.求方程x2+y2-4x+10y+16=0的整数解解：x2-4x+16+y2+10y+25=25(添项)（x－4）2

7、+(y+5)2＝25（配方）∵25折成两个整数的平方和，只能是0和25；9和16.∴（x4)20或(x4)225（x4)29(x4)216(y5)2(y5)2或(y5)2或25016(y5)29由x40得x4y55y0-5-同理，共有12个解x4x9x1⋯⋯y10y-5y5三、1.因式分解：①x4+x2y2+y4；②x2-2xy+y2-6x+6y+9；③x4+x2-2ax-a2+1.2.化下列二次根式：①4x212x94x220x25（－3＜x<5）；22②x24xx33x2(1

8、535；⑦（14＋65）÷（3＋5）；⑧（223x）＋x8x16.3求下列代数式的最大或最小：①2x2+10x+1；②－1x2+x-1.222－4a－2b+5.求：ab4.已知：a+b322