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1、1.三个基本无穷小一、重点内容第一章无穷小与极限2.关于无穷小的比较定理且在点a的某个空心邻域内如果成立，其中C为常数.3.设q为常数,则例1设函数解求出的解析表达式.证因例2证明数列是无穷小.而是无穷小,根据比较定理,数列是无穷小.例3证明证由定理1.3,有不妨设因于是定理1无穷小与有界函数的乘积为无穷小.无穷小与无穷大的关系则当时,设在的某空心邻域内有定义,答案例4证明证不妨设因于是先证明所以故无穷小与函数极限的关系左极限与右极限几个极限不存在的例子:因因但要注意到:求解可得由例5若定理2(局部保号性)与A同号.1.设且例6设函数在[a,b]上可导,若使得则至少有一点定理3极限四
2、则运算法则则有设这是因为推论例7已知解求常数a,b.典型极限当为非负整数时,有解原极限例8已知求常数a,b.例9求解原式求解即因为所以例10设准则I如果数列及满足下列条件:那么数列的极限存在,且两个极限准则准则II单调有界数列必有极限.例11求解由夹逼定理例12求解先考虑因为所以故定义记作记作常用等价无穷小:定理4(等价无穷小替换定理)其它三个更高阶的无穷小【】例13当B时，下面四个函数哪一个是比解解例14求也可能是连续点,需要判定.初等函数无定义的孤立点是间断点.分段函数的分段点可能是间断点,求函数的间断点的方法间断点的分类1.跳跃间断点2.可去间断点跳跃间断点与可去间断点统称为第
3、一类间断点.3.第二类间断点解例15求例16求函数的间断点并判断其类型.解1.铅直渐近线(垂直于x轴的渐近线)曲线的渐近线2.水平渐近线(平行于x轴的渐近线)例17求出曲线的水平与铅直渐近线.解的一条水平渐近线.的铅直渐近线.定理4初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.初等函数求极限的方法代入法.定理5(零点定理)设函数在闭区间[a,b]上连续，且与异号(即),那么在开区间(a,b)内至少有函数的一个零点,即至少有一点使定理6闭区间上连续的函数,必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.则函数例18设常数a满足在区间[0,1]上的零点个数是()(A)0(
4、B)1(C)2(D)3B第二章导数与微分导数定义的几种常用形式重点内容：2.右导数单侧导数1.左导数切线方程为法线方程为导数的几何意义（D）0例1设在点可导,则【】A.不存在B.3C.2D.1定理1可导函数都是连续函数.ACA.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.无因果关系[]D解例5设函数解解定理2复合函数的求导法则推广对数求导法适用范围:由参数方程所确定的函数的导数则例7解切点为例8设函数由参数方程所确定,求解(1)例9设解解例11解例12解例13解例14设解罗尔定理(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)内可导;(3)使得第三章中值定理与导数的应用利用罗尔定
5、理的关键是构造辅助函数.重点内容：2.因子法如果待证等式为如果作辅助函数且只要因此,另一因子可通过确定.(f(x)是一个因子)则证设辅助函数在[0,1]上用罗尔定理,使得即有例1设分析:问题转化为证使得证明在拉格朗日中值定理(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)内可导;使得例2已知函数在[0,1]上连续，在(0,1)内可导,且分析第一部分用闭区间上连续函数的介值定理；证明：(1)存在使得使得(2)存在两个不同的点第二部分为双介值问题，需两次使用拉格朗日中值定理.证(1)令且F(0)=-1<0,F(1)=1>0,于是由介值定理知，使得即则F(x)在[0,1]上连续，(
6、2)在和上对分别应用拉格朗日中值定理，存在两个不同的点使得于是解1洛必达法则求极限解2例4解即(1)式成立.证例5证明不等式原不等式等价于例6证原不等式得证.例7设(1)求的驻点(2)求的极值.解(1)(2)解例8设函数例9设函数在定义域内可导，(A)的图形如右图所示则其导函数的图形为【】(B)（C）（D）A(A)无实根(B)有且仅有一个实根(C)有且仅有两个实根(D)有无穷多个实根例10在区间内，方程解C设因是偶函数，先讨论在内根的情况.由而在(0,1)内所以方程在(0,1)内有一个实根；当x>1时，故方程在内有惟一实根.因此，原方程有且仅有两个实根.
