§2.3-4卷积积分及其性质.ppt

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1、§2.3卷积积分信号的时域分解与卷积积分卷积的图解法2.3卷积积分2.3卷积积分一、信号的时域分解与卷积积分1.信号的时域分解(1)预备知识问f1(t)=?p(t)直观看出2.3卷积积分(2)任意信号分解“0”号脉冲高度f(0),宽度为△，用p(t)表示为：f(0)△p(t)“1”号脉冲高度f(△),宽度为△，用p(t-△)表示为：f(△)△p(t-△)“-1”号脉冲高度f(-△)、宽度为△，用p(t+△)表示为：f(-△)△p(t+△)2.3卷积积分2.任意信号作用下的零状态响应yzs(t)f(t)根据h(t)的定义：δ(t)h(t)由时不变性：δ(t-τ

2、)h(t-τ)f(τ)δ(t-τ)由齐次性：f(τ)h(t-τ)由叠加性：‖f(t)‖yzs(t)卷积积分2.3卷积积分3.卷积积分的定义已知定义在区间（–∞，∞）上的两个函数f1(t)和f2(t)，则定义积分为f1(t)与f2(t)的卷积积分，简称卷积；记为f(t)=f1(t)*f2(t)注意：积分是在虚设的变量τ下进行的，τ为积分变量，t为参变量。结果仍为t的函数。2.3卷积积分例：f(t)=et,（-∞t时，ε(t-τ)=02.3卷积积分用定义法计算卷

3、积积分步骤：（1）换元：f1(t)→f1(τ)，f2(t)→f2(t－τ)（2）视情况变积分限：f1(τ)f2(t-τ)中是否含有ε(τ)或ε(t－τ)，如果有ε(τ)，则将积分下限换为0，如果有ε(t－τ)，则将积分上限换为t(注意：t为参变量，τ为自变量)。（3）积分：与普通函数积分一致。2.3卷积积分二、卷积的图解法（1）换元：t换为τ→得f1(τ)，f2(τ)（2）反转平移：由f2(τ)反转→f2(–τ)，然后右移t→f2(t-τ)（3）乘积：f1(τ)f2(t-τ)（4）积分：τ从–∞到∞对乘积项积分。注意：t为参变量。用图解法计算卷积积分步骤：2

4、.3卷积积分例：f(t),h(t)如图，求yzs(t)=f(t)*h(t)。解：采用图解法卷积。h(t-τ)h(τ)反折h(-τ)平移t①t<0时,h(t-τ)向左移h(t-τ)f(τ)=0，故yzs(t)=0②0≤t≤1时,h(t-τ)向右移③1≤t≤2时⑤3≤t时h(t-τ)f(τ)=0，故yzs(t)=0f(t)函数形式复杂换元为f(τ)。h(t)换元h(τ)④2≤t≤3时0h(t－τ)h(－τ)f(τ)h(t－τ)2.3卷积积分图解法一般比较繁琐，但若只求某一时刻卷积值时还是比较方便的。确定积分的上下限是关键。例：f1(t)、f2(t)如图所示，已知

5、f(t)=f2(t)*f1(t)，求f(2)=？f1(-τ)f1(2-τ)解：（1）换元（2）f1(τ)得f1(–τ)（3）f1(–τ)右移2得f1(2–τ)（4）f1(2–τ)乘f2(τ)（5）积分，得f(2)=0（面积为0）§2.4卷积积分的性质卷积代数运算与冲激函数或阶跃函数的卷积微分积分性质卷积的时移特性卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质（或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。2.4卷积积分的性质下面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）。一、卷积代数满足乘法的三律：交换律：2.分配律：系统并联运算结合律：系统级联运算证明：系统并联系统并

6、联，框图表示：结论：子系统并联时，总系统的冲激响应等于各子系统冲激响应之和。2.4卷积积分的性质系统级联系统级联，框图表示：结论：子系统级联时，总的冲激响应等于子系统冲激响应的卷积。2.4卷积积分的性质2.4卷积积分的性质二、函数与冲激函数的卷积1.f(t)*δ(t)=δ(t)*f(t)=f(t)证：f(t)*δ(t–t0)=f(t–t0)2.f(t)*δ’(t)=f’(t)证：f(t)*δ(n)(t)=f(n)(t)3.f(t)*ε(t)ε(t)*ε(t)=？2.4卷积积分的性质注意区分：tε(t)特例：2.4卷积积分的性质三、卷积的微积分性质1.证：上式

7、=δ(n)(t)*[f1(t)*f2(t)]=[δ(n)(t)*f1(t)]*f2(t)=f1(n)(t)*f2(t)2.证：上式=ε(t)*[f1(t)*f2(t)]=[ε(t)*f1(t)]*f2(t)=f1(–1)(t)*f2(t)3.在f1(–∞)=0和f2(–∞)=0的前提下，f1(t)*f2(t)=f1’(t)*f2(–1)(t)2.4卷积积分的性质例1：f1(t)=1，f2(t)=e–tε(t)，求f1(t)*f2(t)解：通常复杂函数放前面，代入定义式得f2(t)*f1(t)=注意：套用f1(t)*f2(t)=f1’(t)*f2(–1)(t)

8、=0*f2(–1)(t)=0显然是错误的。例2：f1